Question

6．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知直線y=-$\frac{1}{2}$x+4與y軸交于A點(diǎn)，與x軸交于B點(diǎn)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求證：直線AB⊥AC；
（2）求經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線l的解析式和對稱軸；
（3）在直線AB上方的拋物線l上，是否存在一點(diǎn)P，使直線AB平分∠PBC？
若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得AB、AC的長，根據(jù)勾股定理的逆定理，可得答案；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)配方法，可得對稱軸；
（3）根據(jù)菱形的對角線平分一組對角，可得ADBE是菱形，根據(jù)平行間的一次項(xiàng)的系數(shù)相等，可得BE的解析式，根據(jù)解方程組，可得答案．

解答 （1）證明：當(dāng)y=0時(shí)，x=8，即B（8，0），當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即A（0，4）．
∵△AOB、△AOC是直角三角形，
∴AC²=OC²+AO²=20，AB²=OB²+AO²=80，
∵AC²+AB²=20+80=100，BC²=[8-（-2）]²，
∴AC²+AB²=BC²，
∴AC⊥AB；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
將A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{4a-2b+c=0}\\{64a+8b+c=0}\end{array}\right.$，
解得a$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{9}{4}$，
拋物線的對稱軸是x=3；
（3）在直線AB上方的拋物線l上，存在一點(diǎn)P，使直線AB平分∠PBC，理由如下：
如圖ADBE是菱形，設(shè)D（x，0），BD=8-x，
由勾股定理，得
x²+4²=（8-x）²，
解得x=3，
AD的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
BE的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+b，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，解得b=$\frac{32}{3}$，
BE的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{32}{3}$，
聯(lián)立BE與拋物線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{32}{3}}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4}\end{array}\right.$，
消元化簡，得
3x²-34x+80=0，
△=34²-4×3×80=169，
∴x₁=8（舍棄），x₂=$\frac{10}{3}$，
x=$\frac{10}{3}$時(shí)，y=$\frac{56}{9}$
∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{10}{3}$，$\frac{56}{9}$）時(shí)，使直線AB平分∠PBC．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用勾股定理及逆定理是解題關(guān)鍵；利用待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵；利用菱形的性質(zhì)得出BE的解析式是解題關(guān)鍵．