Question

【題目】如圖，D是△ABC外接圓上的點，且B，D位于AC的兩側，DE⊥AB，垂足為E，DE的延長線交此圓于點F.BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點H，DC，FB的延長線交于點P，且PC=PB．

(1)求證：∠BAD=∠PCB；

(2)求證：BG//CD；

(3)設△ABC外接圓的圓心為O，連接OD，OH，若弦BC的長等于圓的半徑，∠COD＝20°，求∠OHD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）70

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結論；
（2）由（1）得∠BAD=∠PCB，結合等腰三角形的性質(zhì)及同弧所對的圓周角相等可得∠BFD=∠PBC，根據(jù)平行線的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，根據(jù)圓周角定理得到AC是⊙O的直徑，可證∠ADC=∠AGB=90°，即可得證；
（3）連接OB，由（2）可得點O在AC的中點.由弦BC的長等于圓的半可得三角形OBC為等邊三角形，∠OCB=60°，則∠BAC=30°，因為∠COD=20°，故可求得∠ODA=∠OAD=10°，則∠ADH=50°，求得∠ODH=40°，

由（2）可證四邊形DHBC為平行四邊形，所以DH=BC=OD，即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠OHD.

（1） ∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB；
（2）由（1）得∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；

（3）連接OB，由（2）可得：點O在AC的中點.

∵弦BC的長等于圓的半徑

∴△OBC為等邊三角形

∴∠OCB=60°

由（2）得：∠ABC=90°，

∴∠BAC=30°

∵∠COD=20°

∴∠ODA=∠OAD=∠COD=10°

∴∠ADE=90°-30°-10°=50°

∴∠ODH=∠ADH-∠ADO=40°

由（2）得：DF∥BC,BG∥CD

∴四邊形DHBC為平行四邊形

∴DH=BC=OD

∴∠OHD=