【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(﹣1,0)B(3,0)兩點,與y軸交于點C,點D是該拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式和直線AC的解析式;
(2)請在y軸上找一點M,使△BDM的周長最小,求出點M的坐標(biāo);
(3)試探究:在拋物線上是否存在點P,使以點A,P,C為頂點,AC為直角邊的三角形是直角三角形?若存在,請求出符合條件的點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;直線AC的解析式為y=3x+3;(2)點M的坐標(biāo)為(0,3);
(3)符合條件的點P的坐標(biāo)為(,)或(,﹣),
【解析】(1)設(shè)交點式y=a(x+1)(x-3),展開得到-2a=2,然后求出a即可得到拋物線解析式;再確定C(0,3),然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式;
(2)利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定D的坐標(biāo)為(1,4),作B點關(guān)于y軸的對稱點B′,連接DB′交y軸于M,如圖1,則B′(-3,0),利用兩點之間線段最短可判斷此時MB+MD的值最小,則此時△BDM的周長最小,然后求出直線DB′的解析式即可得到點M的坐標(biāo);
(3)過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P,如圖2,利用兩直線垂直一次項系數(shù)互為負倒數(shù)設(shè)直線PC的解析式為y=-x+b,把C點坐標(biāo)代入求出b得到直線PC的解析式為y=-x+3,再解方程組得此時P點坐標(biāo);當(dāng)過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P時,利用同樣的方法可求出此時P點坐標(biāo).
(1)設(shè)拋物線解析式為y=a(x+1)(x﹣3),
即y=ax2﹣2ax﹣3a,
∴﹣2a=2,解得a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;
當(dāng)x=0時,y=﹣x2+2x+3=3,則C(0,3),
設(shè)直線AC的解析式為y=px+q,
把A(﹣1,0),C(0,3)代入得,解得,
∴直線AC的解析式為y=3x+3;
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴頂點D的坐標(biāo)為(1,4),
作B點關(guān)于y軸的對稱點B′,連接DB′交y軸于M,如圖1,則B′(﹣3,0),
∵MB=MB′,
∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此時MB+MD的值最小,
而BD的值不變,
∴此時△BDM的周長最小,
易得直線DB′的解析式為y=x+3,
當(dāng)x=0時,y=x+3=3,
∴點M的坐標(biāo)為(0,3);
(3)存在.
過點C作AC的垂線交拋物線于另一點P,如圖2,
∵直線AC的解析式為y=3x+3,
∴直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b,
把C(0,3)代入得b=3,
∴直線PC的解析式為y=﹣x+3,
解方程組,解得或,則此時P點坐標(biāo)為(,);
過點A作AC的垂線交拋物線于另一點P,直線PC的解析式可設(shè)為y=﹣x+b,
把A(﹣1,0)代入得+b=0,解得b=﹣,
∴直線PC的解析式為y=﹣x﹣,
解方程組,解得或,則此時P點坐標(biāo)為(,﹣).
綜上所述,符合條件的點P的坐標(biāo)為(,)或(,﹣).
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【題目】如圖①,在矩形ABCD中,AB<AD,對角線AC,BD相交于點O,動點P由點A出發(fā),沿AB-BC→CD向點D運動設(shè)點P的運動路程為x,△AOP的面積為y,y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所小示,則AD的長為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)在全校學(xué)生中開展了“地球—我們的家園”為主題的環(huán)保征文比賽,評選出一、二、三等獎和優(yōu)秀獎。根據(jù)獎項的情況繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題:
(1)求校獲獎的總?cè)藬?shù),并把條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)求在扇形統(tǒng)計圖中表示“二等獎” 的扇形的圓心角的度數(shù);
(3)獲得一等獎的4名學(xué)生中有3男1女,現(xiàn)打算從中隨機選出2名學(xué)生參加頒獎活動,請用列表或畫樹狀圖的方法求選出的2名學(xué)生恰好是1男1女的概率﹒
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【題目】如圖,已知等邊△ABC的邊長為8,以AB為直徑的圓交BC于點F.以C為圓心,CF長為半徑作圖,D是⊙C上一動點,E為BD的中點,當(dāng)AE最大時,BD的長為( )
A. B. C. D. 12
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【題目】如圖,拋物線y = x2+bx+c過點A (-1,2),且關(guān)于y軸對稱,點C與點B(a,0)(a>1)關(guān)于原點對稱,直線AC交拋物線于點D.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)連接OA,BD,當(dāng)OA//BD時,求a的值;
(3)若直線AC交拋物線于E,F兩點(點E在點F的左側(cè)),且EA=DF,求直線AC的解析式.
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【題目】已知關(guān)于x的方程
(1)求證:不論k取什么實數(shù)值,這個方程總有實數(shù)根;
(2)若等腰三角形ABC的一邊長為,另兩邊的長b、c恰好是這個方程的兩個根,求△ABC的周長.
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【題目】某體育文化用品商店購進籃球和排球共200個,進價和售價如下表全部銷售完后共獲利潤2600元.
(1)求商店購進籃球和排球各多少個?
(2)王老師在元旦節(jié)這天到該體育文化用品商店為學(xué)校買籃球和排球各若干個(兩種球都買了),商店在他的這筆交易中獲利100元王老師有哪幾種購買方案.
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【題目】智能手機如果安裝了一款測量軟件“SmartMeasure”后,就可以測量物高、寬度和面積等.如圖,打開軟件后將手機攝像頭的屏幕準(zhǔn)星對準(zhǔn)腳部按鍵,再對準(zhǔn)頭部按鍵,即可測量出人體的高度.其數(shù)學(xué)原理如圖②所示,測量者AB與被測量者CD都垂直于地面BC.若手機顯示AC=1m,AD=1.8m,∠CAD=60°,求此時CD的高.(結(jié)果保留根號)
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與雙曲線交于點A,過點作AO的平行線交雙曲線于點B,連接AB并延長與y軸交于點,則k的值為______.
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