Question

【題目】如圖1，地面BD上兩根等長(zhǎng)立柱AB，CD之間有一根繩子可看成拋物線(xiàn)y＝0.1x2﹣0.8x+5．

（1）求繩子最低點(diǎn)離地面的距離；

（2）因?qū)嶋H需要，在離AB為5米的位置處用一根立柱MN撐起繩子（如圖2），使左邊拋物線(xiàn)F1的最低點(diǎn)距MN為1米，離地面2米，求MN的長(zhǎng)；

（3）將立柱MN的長(zhǎng)度提升為5米，通過(guò)調(diào)整MN的位置，使拋物線(xiàn)F2對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)始終為．設(shè)MN離AB的距離為m，拋物線(xiàn)F2的頂點(diǎn)離地面距離為k，但2≤k≤3時(shí)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）米；（2）米；（3）2≤m≤8﹣2．

【解析】

（1）直接利用配方法求出二次函數(shù)最值得出答案；

（2）利用頂點(diǎn)式求出拋物線(xiàn)F1的解析式，進(jìn)而得出x=5時(shí)，y的值，進(jìn)而得出MN的長(zhǎng)；

（3）根據(jù)題意得出拋物線(xiàn)F2的解析式，得出k的值，進(jìn)而得出m的取值范圍．

解：（1）∵a＝0.1＞0，

∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，

∵y＝0.1x2﹣0.8x+5＝0.1（x﹣4）2+，

∴繩子最低點(diǎn)離地面的距離為：米；

（2）由（1）可知，對(duì)稱(chēng)軸為x＝4，則BD＝8，

令x＝0得y＝5，

∴A（0，5），C（8，5），

由題意可得：拋物線(xiàn)F1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，2），

設(shè)F1的解析式為：y＝a（x﹣4）2+2，

將（0，5）代入得：16a+2＝5，

解得：a＝，

∴拋物線(xiàn)F1為：y＝（x﹣4）2+2，

當(dāng)x＝5時(shí)，y＝+2＝，

∴MN的長(zhǎng)度為：米；

（3）∵MN＝DC＝5，

∴根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知拋物線(xiàn)F2的頂點(diǎn)在ND的垂直平分線(xiàn)上，

∴F2的橫坐標(biāo)為：（8﹣m）+m＝m+4，

∴拋物線(xiàn)F2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（m+4，k），

∴拋物線(xiàn)F2的解析式為：y＝（x﹣m﹣4）2+k，

把C（8，5）代入得：（8﹣m﹣4）2+k＝5，

解得：k＝﹣（4﹣m）2+5，

∴k＝﹣（m﹣8）2+5，

∴k是關(guān)于m的二次函數(shù)，

又∵由已知m＜8，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，

∴k隨m的增大而增大，

∴當(dāng)k＝2時(shí)，﹣（m﹣8）2+5＝2，

解得：m1＝2，m2＝14（不符合題意，舍去），

當(dāng)k＝3時(shí)，﹣（m﹣8）2+5＝3，

解得：m1＝8﹣2，m2＝8+2（不符合題意，舍去），

∴m的取值范圍是：2≤m≤8﹣2．