Question

【題目】如圖，已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從B，A兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA，AC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：

（1）如圖①，當(dāng)t為何值時(shí)，AP＝3AQ；

（2）如圖②，當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ為直角三角形；

（3）如圖③，作 QD∥AB交 BC于點(diǎn)D，連接PD，當(dāng)t為何值時(shí)，△BDP與△PDQ相似？

Answer 1

【答案】（1）（2）3或 （3）或2

【解析】

(1)由題意可知BP=t,AQ=2t,則AP=6-t由AP=3AQ可得到關(guān)于t的方程,可求得的值;

(2)分∠APQ=90和ΔAQP=90兩種情況,再利用含30角的直角三角形的性質(zhì)可和AP=2AQ,或AQ=2AP,分別求即可;

(3) 由已知可證得△CDQ 是等邊三角形，分△BPD∽△PDQ ，△BPQ ∽△QDP 兩種情況討論，可得t的值.

（1）由題意知，AQ＝2t，BP＝t，

∵△ABC 是邊長(zhǎng)為 6cm 的等邊三角形，

∴∠A＝60°，AB＝6，

∴AP＝AB﹣BP＝6﹣t，

∵AP＝3AQ，

∴6﹣t＝3×2t，

∴t＝，

即：t＝秒時(shí)，AP＝3AQ；

（2）由（1）知，∠A＝60°，AQ＝2t，AP＝6﹣t，

∵△APQ 為直角三角形，

①當(dāng)∠APQ＝90°時(shí)，AQ＝2AP，

∴2t＝2（6﹣t），

∴t＝3 秒，

②當(dāng)∠AQP＝90°時(shí)，AP＝2AQ，

∴6﹣t＝2×2t，

∴t＝秒，

即：t＝3 秒或秒時(shí)，△APQ 是直角三角形；

（3）由題意知，AQ＝2t，BP＝t，

∴AP＝6﹣t，

∵△ABC 是等邊三角形，

∴∠A＝∠C＝60°，

∵QD∥AB，

∴∠PDQ＝∠BPD，∠QDB＝∠A＝60°，

∴△CDQ 是等邊三角形，

∴CD＝CQ，

∴BD＝AQ＝2t，

∵△BDP 與△PDQ 相似，

∴①當(dāng)△BPD∽△PDQ 時(shí)，

∴∠B＝∠DPQ＝60°，

∴∠APQ＝∠BDP，

∵∠A＝∠B，

∴△APQ∽△BDP，

∴，

∴，

∴t＝秒，

②當(dāng)△BPQ ∽△QDP 時(shí)，

∴∠B＝∠DQP＝60°，

∵DQ∥AB，

∴∠APQ＝DQP＝60°，

∵∠A＝60°，

∴△APQ 是等邊三角形，

∴AP＝AQ，

∴6﹣t＝2t，

∴t＝2 秒，

即：t＝秒或 2 秒時(shí)，△BDP 與△PDQ 相似．