Question

【題目】如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BD上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交AD于E，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)點(diǎn)F．問(wèn)：

（1）圖中△APD與哪個(gè)三角形全等？并說(shuō)明理由；

（2）求證：△APE∽△FPA；

（3）猜想：線(xiàn)段PC，PE，PF之間存在什么關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)△CPD．理由參見(jiàn)解析；（2）證明參見(jiàn)解析；（3）PC2=PEPF．理由參見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用SAS來(lái)判定兩三角形全等；（2）根據(jù)第一問(wèn)的全等三角形結(jié)論及已知，利用兩組角相等則兩三角形相似來(lái)判定即可；（3）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例及全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論．

試題解析：（1）△APD≌△CPD．理由：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP．又∵PD=PD，∴△APD≌△CPD（SAS）．（2）∵△APD≌△CPD，∴∠DAP=∠DCP，∵CD∥AB，∴∠DCF=∠DAP=∠CFB，又∵∠FPA=∠FPA，∴△APE∽△FPA（兩組角相等則兩三角形相似）．（3）猜想：PC2=PEPF．理由：∵△APE∽△FPA，∴．即PA2=PEPF．∵△APD≌△CPD，∴PA=PC．∴PC2=PEPF．