【題目】如圖,以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF
(1)求證:△EBF≌△DFC;
(2)求證:四邊形AEFD是平行四邊形;
(3)①△ABC滿足時,四邊形AEFD是菱形.(無需證明) ②△ABC滿足時,四邊形AEFD是矩形.(無需證明)
③△ABC滿足時,四邊形AEFD是正方形.(無需證明)
【答案】
(1)證明:∵△ABE、△BCF為等邊三角形,
∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,∠ABE=∠CBF=60°,
∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF,即∠CBA=∠FBE,
在△ABC和△EBF中,
,
∴△ABC≌△EBF(SAS),
∴EF=AC,
又∵△ADC為等邊三角形,
∴CD=AD=AC,
∴EF=AD=DC,
同理可得△ABC≌△DFC,
∴DF=AB=AE=DF,
∴四邊形AEFD是平行四邊形;
∴∠FEA=∠ADF,
∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC,即∠FEB=∠CDF,
在△FEB和△CDF中,
.
∴△EBF≌△DFC(SAS)
(2)證明:∵△EBF≌△DFC,
∴EB=DF,EF=DC.
∵△ACD和△ABE為等邊三角形,
∴AD=DC,AE=BE,
∴AD=EF,AE=DF
∴四邊形AEFD是平行四邊形
(3)AB=AC;∠BAC=150°;AB=AC,∠BAC=150°
【解析】(3)①若AB=AC,則平行四邊形AEFD是菱形; 此時AE=AB=AC=AD,即△ABC是等腰三角形;
故△ABC滿足AB=AC時,四邊形AEFD是菱形;
②若∠BAC=150°,則平行四邊形AEFD是矩形;
由(1)知四邊形AEFD是平行四邊形,則∠EAD=90°時,可得平行四邊形AEFD是矩形,
∴∠BAC=360°﹣60°﹣60°﹣90°=150°,
即△ABC滿足∠BAC=150°時,四邊形AEFD是矩形;
③綜合①②的結(jié)論知:當(dāng)△ABC是頂角∠BAC是150°的等腰三角形時,四邊形AEFD是正方形.
故答案是:①AB=AC;
②∠BAC=150°;
③AB=AC,∠BAC=150°.
(1)由△ABE與△BCF都為等邊三角形,利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對邊相等,∠ABE=∠CBF=60°,利用等式的性質(zhì)得到夾角相等,利用SAS得到△EBF與△DFC全等;(2)利用(1)中全等三角形對應(yīng)邊相等得到EF=AC,再由三角形ADC為等邊三角形得到三邊相等,等量代換得到EF=AD,AE=DF,利用對邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形;(3)①當(dāng)AE=AD時,ADFE是菱形;②當(dāng)∠BAC=150°,由此可求得∠EAD的度數(shù),則可得ADFE是矩形;③當(dāng)ADFE是正方形時,∠EAD=90°,且AE=AD,聯(lián)立①②的結(jié)論即可.
【考點精析】通過靈活運用等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì),掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°;若一直線過平行四邊形兩對角線的交點,則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點,并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積即可以解答此題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)如圖1,已知O是直線CD上的點,OA平分∠BOC,OE平分∠BOD,∠AOC=35°,求∠BOE,∠COE的度數(shù).
(2)如圖2,已知AB=16cm,C是AB上一點,點D是線段AC的中點,點E是線段BC的中點,求線段DE的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a、b是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的兩個實數(shù)根,則代數(shù)式(a﹣b)(a+b﹣2)+ab的值等于 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】知識的遷移與應(yīng)用
問題一:甲、乙兩車分別從相距180km的 A、B兩地出發(fā),甲車速度為36 km/h,乙車速度為24km/h,兩車同時出發(fā),相向而行, 后兩車相距120 km?
問題二:將線段彎曲后可視作鐘表的一部分,如圖,在一個圓形時鐘的表面上,OA表示時針,OB表示分針(O為兩針的旋轉(zhuǎn)中心).下午3點時,OA與OB成直角.
(1)3:40時,時針與分針?biāo)傻慕嵌?/span> ;
(2)分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為 ,時針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度為 ;
(3)在下午3點至4點之間,從下午3點開始,經(jīng)過多少分鐘,時針與分針成60°角?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm,動點P從點A出發(fā),以1cm/s的速度向點D運動;動點Q從點C同時出發(fā),以3cm/s的速度向點B運動.規(guī)定當(dāng)其中一個動點到達(dá)端點時,另一個動點也隨之停止運動.設(shè)運動時間為t,求:
(1)當(dāng)t為何值時,PQ∥CD?
(2)當(dāng)t為何值時,PQ=CD?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,且其中一個等腰三角形的底角是另一個等腰三角形底角的2倍,我們把這條對角線叫做這個四邊形的黃金線,這個四邊形叫做黃金四邊形.
(1)如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD=DC,對角線AC,BD都是黃金線,且AB<AC,CD<BD,求四邊形ABCD各個內(nèi)角的度數(shù);
(2)如圖2,點B是弧AC的中點,請在⊙O上找出所有的點D,使四邊形ABCD的對角線AC是黃金線(要求:保留作圖痕跡);
(3)在黃金四邊形ABCD中,AB=BC=CD,∠BAC=30°,求∠BAD的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反,要令正負(fù)以名之.”意思是:“今有兩數(shù)若其意義相反,則分別叫做正數(shù)和負(fù)數(shù).”規(guī)定向東為正,向西為負(fù).若向東走70m,記作+70m,則﹣20m表示( )
A.向西走20mB.向東走20mC.向西走50mD.向東走50m
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【題目】如圖,□ABCD紙片,∠A=120°,AB=4,BC=5,剪掉兩個角后,得到六邊形AEFCGH ,它的每個內(nèi)角都是120°,且EF=1,HG=2,則這個六邊形的周長為( )
A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
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