【題目】若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形,且其中一個(gè)等腰三角形的底角是另一個(gè)等腰三角形底角的2倍,我們把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的黃金線,這個(gè)四邊形叫做黃金四邊形.
(1)如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AD=DC,對(duì)角線AC,BD都是黃金線,且AB<AC,CD<BD,求四邊形ABCD各個(gè)內(nèi)角的度數(shù);
(2)如圖2,點(diǎn)B是弧AC的中點(diǎn),請(qǐng)?jiān)凇袿上找出所有的點(diǎn)D,使四邊形ABCD的對(duì)角線AC是黃金線(要求:保留作圖痕跡);
(3)在黃金四邊形ABCD中,AB=BC=CD,∠BAC=30°,求∠BAD的度數(shù).
【答案】(1)108°,72°,108°,72°. (2)圖形見解析(3)∠BAD的度數(shù)為80°.
【解析】試題分析:(1)先由對(duì)角線AC是黃金線,可知△ABC是等腰三角形,分兩種情況討論:①AB=BC;②AC=BC.根據(jù)黃金四邊形的定義和四邊形的內(nèi)角和求解即可;
(2)①以A為圓心,AC為半徑畫弧,交圓O于D1,②以C為圓心,AC為半徑畫弧,交圓O于D2,③連接AD1,CD1,AD2,CD2.
(3)先根據(jù)∠BAC=30°,算得∠ABC=120°,再分情況討論:
i:當(dāng)AC為黃金線,則AD=CD,或AD=AC,根據(jù)等腰三角形及黃金四邊形進(jìn)行計(jì)算即可;ii:當(dāng)BD為黃金線時(shí),分三種情況:①當(dāng)AB=AD時(shí),②當(dāng)AB=BD時(shí),③當(dāng)AD=dD時(shí)。
試題解析:(1)∵在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC是黃金線,
∴△ABC是等腰三角形,
∵AB<AC,
∴AB=BC或AC=BC,
①當(dāng)AB=BC時(shí),
∵AB=AD=DC,
∴AB=BC=AD=DC,
又∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,
此種情況不符合黃金四邊形定義,
②AC=BC,
同理,BD=BC,
∴AC=BD=BC,易證得△ABD≌△DAC,△CAB≌△BDC,
∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB,∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA,
且∠DCA<∠DCB,
∴∠DAC<∠CAB
又由黃金四邊形定義知:∠CAB=2∠DAC,
設(shè)∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°,
則∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°,
∴∠DAB=∠ADC=3x°,
而四邊形的內(nèi)角和為360°,
∴∠DAB=∠ADC=108°,∠BCD=∠CBA=72°,
答:四邊形ABCD各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為108°,72°,108°,72°.
(2)由題意作圖為:
(3)∵AB=BC,∠BAC=30°,
∴∠BCA=∠BAC=30°,∠ABC=120°,
。┊(dāng)AC為黃金線時(shí),
∴△ACD是等腰三角形,
∵AB=BC=CD,AC>BC,
∴AD=CD或AD=AC,
當(dāng)AD=CD時(shí),則AB=BC=CD=AD,
又∵AC=AC,
∴△ABC≌△ADC,
如圖3,此種情況不符合黃金四邊形定義,
∴AD≠CD,
當(dāng)AD=AC時(shí),由黃金四邊形定義知,∠ACD=∠D=15°或60°,
此時(shí)∠BAD=180°(不合題意,舍去)或90°(不合題意,舍去);
ⅱ)當(dāng)BD為黃金線時(shí),
∴△ABD是等腰三角形,
∵AB=BC=CD,
∴∠CBD=∠CDB,
①當(dāng)AB=AD時(shí),△BCD≌△BAD,
此種情況不符合黃金四邊形定義;
②當(dāng)AB=BD時(shí),AB=BD=BC=CD,
∴△BCD是等邊三角形,
∴∠CBD=60°,
∴∠A=30°或120°(不合題意,舍去),
∴∠ABC=180°(不合題意,舍去),
此種情況也不符合黃金四邊形定義;
③當(dāng)AD=BD時(shí),設(shè)∠CBD=∠CDB=y°,則∠ABD=∠BAD=(2y)°或,
∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°,
當(dāng)∠ABD=2y°時(shí),y=40,
∴∠BAD=2y=80°;
當(dāng)時(shí),y=80°,
∴;
由于∠ADB=180°-40°-40°=100°,
∠BDC=80°,
∴∠ADB+∠BDC=180°,
∴此種情況不能構(gòu)成四邊形,
綜上所述:∠BAD的度數(shù)為80°.
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【題目】如圖,在△ ABC中,∠ ABC、∠ ACB的平分線交于點(diǎn)O。
(1)若∠ABC=40°,∠ ACB=50°,則∠BOC=_______
(2)若∠ABC+∠ ACB=lO0°,則∠BOC="________"
(3)若∠A=70°,則∠BOC=_________
(4)若∠BOC=140°,則∠A=________
(5)你能發(fā)現(xiàn)∠ BOC與∠ A之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎?寫出并說明理由。
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【題目】如圖,C是線段AB的中點(diǎn).
若點(diǎn)D在線段CB上,且DB=2cm,AD=8cm,求線段CD的長(zhǎng)度;
若將中的“點(diǎn)D在線段CB上”改為“點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上”,其它條件不變,請(qǐng)畫出相應(yīng)的示意圖,并求出此時(shí)線段CD的長(zhǎng)度.
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【題目】證明一個(gè)四邊形是正方形,使用次數(shù)最少的方法對(duì)折,則應(yīng)該對(duì)折( )
A.1次B.2次C.3次D.4次
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【題目】如圖,以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF
(1)求證:△EBF≌△DFC;
(2)求證:四邊形AEFD是平行四邊形;
(3)①△ABC滿足時(shí),四邊形AEFD是菱形.(無需證明) ②△ABC滿足時(shí),四邊形AEFD是矩形.(無需證明)
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B.點(diǎn)C在直線AB上
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D.點(diǎn)C在直線BA的延長(zhǎng)線上
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