Question

【題目】如圖所示，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，A（﹣5，0），與y軸交于C（0，﹣5），并且對稱軸x＝﹣3．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P在x軸上方的拋物線上，過P的直線y＝x+m與直線AC交于點M，與y軸交于點N，求PM+MN的最大值；

（3）點D為拋物線對稱軸上一點，

①當△ACD是以AC為直角邊的直角三角形時，求D點坐標；

②若△ACD是銳角三角形，求點D的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣6x﹣5；（2）PM+MN的最大值為9；（3）①點D的坐標為（﹣3，2）或（﹣3，﹣8）；②D的縱坐標的取值范圍是﹣8＜y＜﹣6或1＜y＜2

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）易得AC解析式為，作軸，交AC于H，作軸，設，由MN的解析式為知，據(jù)此得，再根據(jù)及二次函數(shù)的性質進一步求解可得；

（3）①設，先利用兩點間的距離公式得到，再討論：當△ACD是以AC為直角邊、CD為斜邊和以AC為直角邊、AD為斜邊的直角三角形時，分別解方程求出y即可得到對應的D點坐標；

②由于當△ACD是以AC為斜邊的直角三角形時，，解方程得到y的值，然后結合圖形可確定△ACD是銳角三角形時，點D縱坐標的取值范圍．

（1）∵拋物線過，對稱軸為直線

∴點B坐標為

可設拋物線解析式為

將點代入得

解得

則拋物線的解析式為

故拋物線的解析式為；

（2）設P點坐標為

∴直線AC解析式為

過點P作軸，交AC于H，作PG⊥y軸于G

∵MN的解析式為

由二次函數(shù)的性質可知，當時，取得最大值，最大值為

故的最大值為；

（3）①設

則

當△ACD是以AC為直角邊、CD為斜邊的直角三角形時

，即

解得，則此時

當△ACD是以AC為直角邊、AD為斜邊的直角三角形時

，即

解得，則此時點

綜上，點D的坐標為或；

②當△ACD是以AC為斜邊的直角三角形時

，即

整理得

解得或

故當△ACD是銳角三角形時，點D縱坐標的取值范圍是或．