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【題目】如圖,點B在線段AC上,點D、E在AC同側,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC.
(1)求證:AC=AD+CE;
(2)若AD=3,CE=5,點P為線段AB上的動點,連接DP,作PQ⊥DP,交直線BE于點Q; (i)當點P與A、B兩點不重合時,求 的值;
(ii)當點P從A點運動到AC的中點時,求線段DQ的中點所經過的路徑(線段)長.(直接寫出結果,不必寫出解答過程)

【答案】
(1)證明:∵BD⊥BE,

∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°,

∵∠C=90°,

∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°,

∴∠1=∠E,

∵在△ABD和△CEB中,

,

∴△ABD≌△CEB(AAS),

∴AB=CE,

∴AC=AB+BC=AD+CE


(2)(i)如圖,過點Q作QF⊥BC于F,

則△BFQ∽△BCE,

,

,

∴QF= BF,

∵DP⊥PQ,

∴∠APD+∠FPQ=180°﹣90°=90°,

∵∠APD+∠ADP=180°﹣90°=90°,

∴∠ADP=∠FPQ,

又∵∠A=∠PFQ=90°,

∴△ADP∽△FPQ,

,

= ,

∴5AP﹣AP2+APBF=3 BF,

整理得,(AP﹣BF)(AP﹣5)=0,

∵點P與A,B兩點不重合,

∴AP≠5,

∴AP=BF,

由△ADP∽△FPQ得, = ,

=

(ii)線段DQ的中點所經過的路徑(線段)就是△BDQ的中位線MN.

由(2)(i)可知,QF= AP.

當點P運動至AC中點時,AP=4,∴QF=

∴BF=QF× =4.

在Rt△BFQ中,根據勾股定理得:BQ= = =

∴MN= BQ=

∴線段DQ的中點所經過的路徑(線段)長為


【解析】(1)根據同角的余角相等求出∠1=∠E,再利用“角角邊”證明△ABD和△CB全等,根據全等三角形對應邊相等可得AB=CE,然后根據AC=AB+BC整理即可得證;(2)(i)過點Q作QF⊥BC于F,根據△BFQ和△BCE相似可得 ,然后求出QF= BF,再根據△ADP和△FPQ相似可得 = ,然后整理得到(AP﹣BF)(5﹣AP)=0,從而求出AP=BF,最后利用相似三角形對應邊成比例可得 = ,從而得解;(ii)判斷出DQ的中點的路徑為△BDQ的中位線MN.求出QF、BF的長度,利用勾股定理求出BQ的長度,再根據中位線性質求出MN的長度,即所求之路徑長.
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的判定與性質,掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題.

練習冊系列答案
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