【題目】在平面直角坐標系xOy中,直線y=kx(k為常數(shù))與拋物線y= x2﹣2交于A,B兩點,且A點在y軸左側(cè),P點的坐標為(0,﹣4),連接PA,PB.有以下說法:
①PO2=PAPB;
②當(dāng)k>0時,(PA+AO)(PB﹣BO)的值隨k的增大而增大;
③當(dāng)k=- 時,BP2=BOBA;
④△PAB面積的最小值為 .
其中正確的是 . (寫出所有正確說法的序號)
【答案】③④
【解析】解:設(shè)A(m,km),B(n,kn),其中m<0,n>0.
聯(lián)立y= x2﹣2與y=kx得: x2﹣2=kx,即x2﹣3kx﹣6=0,
∴m+n=3k,mn=﹣6.
設(shè)直線PA的解析式為y=ax+b,將P(0,﹣4),A(m,km)代入得:
,解得a= ,b=﹣4,
∴y=( )x﹣4.
令y=0,得x= ,
∴直線PA與x軸的交點坐標為( ,0).
同理可得,直線PB的解析式為y=( )x﹣4,直線PB與x軸交點坐標為( ,0).
∵ + = = =0,
∴直線PA、PB與x軸的交點關(guān)于y軸對稱,即直線PA、PB關(guān)于y軸對稱.
1)說法①錯誤.理由如下:
如答圖1所示,∵PA、PB關(guān)于y軸對稱,
∴點A關(guān)于y軸的對稱點A′落在PB上.
連接OA′,則OA=OA′,∠POA=∠POA′.
假設(shè)結(jié)論:PO2=PAPB成立,即PO2=PA′PB,
∴ ,
又∵∠BPO=∠BPO,
∴△POA′∽△PBO,
∴∠POA′=∠PBO,
∴∠AOP=∠PBO.
而∠AOP是△PBO的外角,
∴∠AOP>∠PBO,矛盾,
∴說法①錯誤.
2)說法②錯誤.理由如下:
易知: =﹣ ,
∴OB=﹣ OA.
由對稱可知,PO為△APB的角平分線,
∴ ,
∴PB=﹣ PA.
∴(PA+AO)(PB﹣BO)=(PA+AO)[﹣ PA﹣(﹣ OA)]=﹣ (PA+AO)(PA﹣OA)=﹣ (PA2﹣AO2).
如答圖2所示,過點A作AD⊥y軸于點D,則OD=﹣km,PD=4+km.
∴PA2﹣AO2=(PD2+AD2)﹣(OD2+AD2)=PD2﹣OD2=(4+km)2﹣(﹣km)2=8km+16,
∵m+n=3k,∴k= (m+n),
∴PA2﹣AO2=8 (m+n)m+16= m2+ mn+16= m2+ ×(﹣6)+16= m2 .
∴(PA+AO)(PB﹣BO)=﹣ (PA2﹣AO2)=﹣ m2=﹣ mn=﹣ ×(﹣6)=16.
即:(PA+AO)(PB﹣BO)為定值,所以說法②錯誤.
3)說法③正確.理由如下:
當(dāng)k= 時,聯(lián)立方程組: ,得A( ,2),B( ,﹣1),
∴BP2=12,BOBA=2×6=12,
∴BP2=BOBA,故說法③正確.
4)說法④正確.理由如下:
S△PAB=S△PAO+S△PBO= OP(﹣m)+ OPn= OP(n﹣m)=2(n﹣m)=2 =2 ,
∴當(dāng)k=0時,△PAB面積有最小值,最小值為 = .
故說法④正確.
綜上所述,正確的說法是:③④.
所以答案是:③④.
【考點精析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系的相關(guān)知識點,需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a、b、c而定;兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù);兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:關(guān)于x的方程mx2-3(m+1)x+2m+3=0(m≠0).
(1)若方程有兩個相等的實數(shù)根,求m的值;
(2)求此方程的兩個根(若所求方程的根不是常數(shù),就用含m的式子表示);
(3)若m為整數(shù),當(dāng)m取何值時方程的兩個根均為正整數(shù)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把所有正奇數(shù)從小到大排列,并按如下規(guī)律分組:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),…,現(xiàn)用等式AM=(i,j)表示正奇數(shù)M是第i組第j個數(shù)(從左往右數(shù)),如A7=(2,3),則A2013=( )
A.(45,77)
B.(45,39)
C.(32,46)
D.(32,23)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點C的坐標為(0,﹣2),交x軸于A、B兩點,其中A(﹣1,0),直線l:x=m(m>1)與x軸交于D.
(1)求二次函數(shù)的解析式和B的坐標;
(2)在直線l上找點P(P在第一象限),使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似,求點P的坐標(用含m的代數(shù)式表示);
(3)在(2)成立的條件下,在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點Q,使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形?如果存在,請求出點Q的坐標;如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2013成都)若正整數(shù)n使得在計算n+(n+1)+(n+2)的過程中,各數(shù)位均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象,則稱n為“本位數(shù)”.例如2和30是“本位數(shù)”,而5和91不是“本位數(shù)”.現(xiàn)從所有大于0且小于100的“本位數(shù)”中,隨機抽取一個數(shù),抽到偶數(shù)的概率為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某物體從P點運動到Q點所用時間為7秒,其運動速度v(米每秒)關(guān)于時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系如圖所示.某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):該物體前進3秒運動的路程在數(shù)值上等于矩形AODB的面積.由物理學(xué)知識還可知:該物體前t(3<t≤7)秒運動的路程在數(shù)值上等于矩形AODB的面積與梯形BDNM的面積之和. 根據(jù)以上信息,完成下列問題:
(1)當(dāng)3<t≤7時,用含t的式子表示v;
(2)分別求該物體在0≤t≤3和3<t≤7時,運動的路程s(米)關(guān)于時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系式;并求該物體從P點運動到Q總路程的 時所用的時間.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點B在線段AC上,點D、E在AC同側(cè),∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC.
(1)求證:AC=AD+CE;
(2)若AD=3,CE=5,點P為線段AB上的動點,連接DP,作PQ⊥DP,交直線BE于點Q; (i)當(dāng)點P與A、B兩點不重合時,求 的值;
(ii)當(dāng)點P從A點運動到AC的中點時,求線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑(線段)長.(直接寫出結(jié)果,不必寫出解答過程)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某蔬菜公司收購蔬菜260噸,準備加工后上市銷售.該公司的加工能力是:每天精加工8噸或粗加工20噸.現(xiàn)計劃在22天內(nèi)完成加工任務(wù),且盡可能多的精加工,該公司應(yīng)安排幾天精加工,幾天粗加工,才能按期完成任務(wù)?如果每噸蔬菜粗加工后的利潤是1500元,精加工后的利潤為3000元,那么該公司出售這些加工后的蔬菜共可獲利多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線交于點O,根據(jù)下列條件,求出∠BOC的度數(shù).
(1)已知∠ABC+∠ACB=100°,則∠BOC= .
(2)已知∠A=90°,求∠BOC的度數(shù).
(3)從上述計算中,你能發(fā)現(xiàn)∠BOC與∠A的關(guān)系嗎?請直接寫出∠B0C與∠A的關(guān)系.
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