Question

【題目】（1）如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且B、C、D三點共線，聯(lián)結(jié)AD、BE相交于點P，求證：BE=AD；

（2）如圖2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分別以BC、CD和BD為邊在△BCD外部作等邊三角形ABC、等邊三角形CDE和等邊三角形BDF，聯(lián)結(jié)AD、BE和CF交于點P，下列結(jié)論中正確的是_________（只填序號即可）

①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；

（3）如圖2，在（2）的條件下，求證：PB+PC+PD=BE．

Answer 1

【答案】（1）BE=AD（2） ①②③都正確．（3）BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AC，CE=CD， ，求出，證出即可；

（2）求出BC=AC，CE=CD， ， ，證，推出， ，同理，推出BE=CF， ，根據(jù)推出，求出，即可求出，同理求出；

（3）在PE上截取PM=PC，連接CM，求出，求出是等邊三角形，推出CP=CM， ，證，推出PD=ME即可．

試題解析：

（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形

∴BC=AC，CE=CD，∠ ACB=∠DCE=60°

∴∠BCE=∠ACD

∴△BCE≌△ACD（SAS）

∴BE=AD

（2）①②③都正確．

∵和都是等邊三角形，

∴， ， ，

∴，

在和中

∴

∴， ，

∴②正確；

同理

∴BE=CF，

∴，

∴①正確；

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

同理，

∴③正確；

故答案為：①②③；

（3） 在PE上截取PM=PC，聯(lián)結(jié)CM

由（1）可知，△BCE≌△ACD（SAS）

∴∠1=∠2

設CD與BE交于點G，在△CGE和△PGD中

∵∠1=∠2，∠CGE=∠PGD

∴∠DPG=∠EC G=60°同理∠CPE=60°

∴△CPM是等邊三角形

∴CP=CM，∠PMC=60°．

∴∠CPD=∠CME="120" °．

∵∠1=∠2，

∴△CPD≌△CME（AAS），

∴PD=ME，

∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．