【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q(2,﹣1),且與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)),點(diǎn)P是該拋物線上一動點(diǎn),從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(點(diǎn)P與A不重合),過點(diǎn)P作PD∥y軸,交AC于點(diǎn)D.

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)P(x,y),PD的長度為l,求l與x的函數(shù)關(guān)系式,并求l的最大值;
(3)當(dāng)△ADP是直角三角形時,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵拋物線的頂點(diǎn)為Q(2,﹣1),

∴設(shè)y=a(x﹣2)2﹣1,

將C(0,3)代入上式得3=a(0﹣2)2﹣1,

解得:a=1,

∴y=(x﹣2)2﹣1,即y=x2﹣4x+3


(2)

解:令y=0,得x2﹣4x+3=0,解得x1=1,x2=3,

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊,

∴A (3,0),B(1,0)

設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n,

將A(3,0),C(0,3)代入上式得, ,解得:

∴y=﹣x+3.

∵D在y=﹣x+3上,P在y=x2﹣4x+3上,且PD∥y軸,

∴D(x,﹣x+3),P(x,x2﹣4x+3),

∴l(xiāng)=PD=﹣x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x=

∴當(dāng) 時,l取得最大值為


(3)

解:分兩種情況:

①當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時,如圖1,點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,

由(2)可知B(1,0),

∴P(1,0).

②當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時,如圖2,

∵OA=OC,∠AOC=90°,

∴∠OAD=45°,

當(dāng)∠DAP=90°時,∠OAP=45°,

∴AO平分∠DAP,

又∵PD∥y軸,

∴PD⊥AO,

∴P與D關(guān)于x軸對稱,

∵D(x,﹣x+3),P(x,x2﹣4x+3),

∴(﹣x+3)+(x2﹣4x+3)=0,

整理得x2﹣5x+6=0,

∴x1=2,x2=3(舍去),

當(dāng)x=2時,y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1,

∴P的坐標(biāo)為P(2,﹣1).

∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為P(1,0),P(2,﹣1)


【解析】(1)設(shè)y=a(x﹣2)2﹣1,將C(0,3)代入求得a的值,從而得到拋物線的解析式;(2)令y=0,得x2﹣4x+3=0,求得方程方程的解,從而可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo),設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n,將A(3,0),C(0,3)代入可求得m、n的值,故此可得到AC的解析式為y=﹣x+3上,設(shè)D(x,﹣x+3),P(x,x2﹣4x+3),然后依據(jù)l=Dy﹣Py列出l與x的函數(shù)關(guān)系式,依據(jù)二次根式的性質(zhì)可求得PD的最大值;(3)①當(dāng)點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)時,點(diǎn)P與點(diǎn)B重合,②當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時,可證明∠DAO=∠PAO,然后可證明點(diǎn)D與P關(guān)于x軸對稱,設(shè)D(x,﹣x+3),P(x,x2﹣4x+3),依據(jù)關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可列出關(guān)于x的方程,從而可求得x的值,故此可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的性質(zhì),需要了解增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某中學(xué)對本校初2017500名學(xué)生中中考參加體育加試測試情況進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)男生1000米及女生800米測試成績整理,繪制成不完整的統(tǒng)計(jì)圖,(圖①,圖②),請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,回答下列問題:

(1)該校畢業(yè)生中男生有 人;扇形統(tǒng)計(jì)圖中a= ;

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(3)若500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生,這名學(xué)生該項(xiàng)成績在8分及8分以下的概率是多少?

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【題目】已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,-5),且與正比例函數(shù)y=x的圖象相交于點(diǎn)(2,a),求:

(1)a的值.

(2)k,b的值.

(3)這兩個函數(shù)圖象與x軸所圍成的三角形的面積。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】關(guān)于的方程有增根,則的值為__________

【答案】2

【解析】方程兩邊都乘(x2),得

x+x2=a,即a=2x2.

分式方程的增根是x=2,

∵原方程增根為x=2,

∴把x=2代入整式方程,得a=2,

故答案為:2.

點(diǎn)睛:本題考查了分式方程的增根,增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根.把增根代入化為整式方程的方程即可求出a的值.

型】填空
結(jié)束】
17

【題目】反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)(16)和(m,-3),則m=

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【題目】如圖,反比例函數(shù)y=的圖象與一次函數(shù)y=kx+b的圖象交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,6),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(n,1).

(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)結(jié)合圖像寫出不等式的解集;

(3)點(diǎn)E為y軸上一個動點(diǎn),若SAEB=10,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【答案】(1)y=,y=-x+7(2)0<x<2或x>12(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,5)或(0,9)

【解析】試題分析:(1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式,求出反比例函數(shù)的解析式把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入已求出的反比例函數(shù)解析式,得出n的值,得出點(diǎn)B的坐標(biāo),再把A、B的坐標(biāo)代入直線,求出kb的值,從而得出一次函數(shù)的解析式;

(2)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,m),連接AE,BE先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)(0,7),得出PE=|m﹣7|,根據(jù)SAEB=SBEPSAEP=10,求出m的值從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo).

解:(1)把點(diǎn)A(2,6)代入y=,得m=12,則y=

把點(diǎn)B(n,1)代入y=,得n=12,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(12,1).

由直線y=kx+b過點(diǎn)A(2,6),點(diǎn)B(12,1),

則所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x+7.

(2);

(3)如圖,直線AB與y軸的交點(diǎn)為P,設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,m),連接AE,BE,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,7).∴PE=|m﹣7|.

∵SAEB=SBEP﹣SAEP=10,∴×|m﹣7|×(12﹣2)=10.

∴|m﹣7|=2.∴m1=5,m2=9.∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,5)或(0,9).

型】解答
結(jié)束】
26

【題目】太倉市為了加快經(jīng)濟(jì)發(fā)展,決定修筑一條沿江高速鐵路,為了使工程提前半年完成,需要將工作效率提高25%。原計(jì)劃完成這項(xiàng)工程需要多少個月?

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【題目】如圖,一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù) (為常數(shù),且)的圖像交于

兩點(diǎn).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;

(2)軸上找一點(diǎn),使的值最小,求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)(2)的條件下求的面積.

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【題目】有兩個,保持不動,且的一邊,另一邊DE與直線OB相交于點(diǎn)F.

,,解答下列問題:

如圖,當(dāng)點(diǎn)E、O、D在同一條直線上,即點(diǎn)O與點(diǎn)F重合,則______;

當(dāng)點(diǎn)E、O、D不在同一條直線上,畫出圖形并求的度數(shù);

的前提下,若,,且,請直接寫出的度數(shù)用含、的式子表示

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AOB=120°,CEBD,DEAC,若AD=4,則四邊形CODE的周長

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【題目】文文和彬彬在證明有兩個角相等的三角形是等腰三角形這一命題時,畫出圖形,寫出已知,求證(如圖),她們對各自所作的輔助線描述如下:

文文過點(diǎn)ABC的中垂線AD,垂足為D”;

彬彬:ABC的角平分線AD”

數(shù)學(xué)老師看了兩位同學(xué)的輔助線作法后,說:彬彬的作法是正確的,而文文的作法需要訂正.

1)請你簡要說明文文的輔助線作法錯在哪里;

2)根據(jù)彬彬的輔助線作法,完成證明過程.

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同步練習(xí)冊答案