Question

7．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2m+1）x+2m=0．
（1）求證：不論m為任何實(shí)數(shù)時(shí)，該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若拋物線y=x²-（2m+1）x+2m與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A與點(diǎn)B在y軸異側(cè)），且AB=4，求此拋物線的表達(dá)式；
（3）在（2）的條件下，若拋物線y=x²-（2m+1）x+2m向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象與直線y=x沒(méi)有交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）證明一個(gè)一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根需要證明△≥0．
（2）首先求出拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)AB=4，進(jìn)而求出m的值，即可求出拋物線的表達(dá)式，
（3）聯(lián)立拋物線方程與直線方程消去y，根據(jù)拋物線與直線無(wú)交點(diǎn)，利用△＜0來(lái)求b的取值范圍．

解答 解：（1）△=b²-4ac=[-（2m+1）]²-4×2m=4m²-4m+1=（2m-1）²
∵不論m為任何實(shí)數(shù)時(shí)，總有△=（2m-1）²≥0，
∴該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）令y=x²-（2m+1）x+2m=0，
即x²-（2m+1）x+2m=0，
則（x-2m）（x-1）=0，
解得x=2m，x=1，
由AB=4，|1-2m|=4，
解得m=$\frac{5}{2}$或m=-$\frac{3}{2}$，
當(dāng)m=$\frac{5}{2}$時(shí)，拋物線解析式為y=x²-6x+5，點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（5，0）不合題意，舍去，
當(dāng)m=-$\frac{3}{2}$時(shí)，拋物線解析式為y=x²+2x-3，點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），符合題意，
∴$m=-\frac{3}{2}$
∴拋物線的表達(dá)式為y=x²+2x-3
（3）將拋物線y=x²+2x-3向上平移b個(gè)單位后得到的拋物線為：$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x-3+b}\\{y=x}\end{array}\right.$，
依題意列方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x-3+b}\\{y=x}\end{array}\right.$，
消去y，得x²+x+b-3=0，
∵圖象與直線y=x沒(méi)有交點(diǎn)，
∴△=1²-4×1×（b-3）＜0，
解得，$b＞\frac{13}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的應(yīng)用，拋物線與x軸交點(diǎn)的知識(shí)，拋物線與直線的位置關(guān)系，涉及拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題；解答拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題常要聯(lián)立方程組，消去一個(gè)未知數(shù)用判別式來(lái)解決拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題．