Question

【題目】已知一次函數(shù)y=x+2的圖象分別交x軸，y軸于A、B兩點，⊙O1過以OB為邊長的正方形OBCD的四個頂點，兩動點P、Q同時從點A出發(fā)在四邊形ABCD上運動，其中動點P以每秒個單位長度的速度沿A→B→A運動后停止；動點Q以每秒2個單位長度的速度沿A→O→D→C→B運動，AO1交y軸于E點，P、Q運動的時間為t（秒）．

（1）求E點的坐標和S△ABE的值；

（2）試探究點P、Q從開始運動到停止，直線PQ與⊙O1有哪幾種位置關系，并求出對應的運動時間t的范圍．

Answer 1

【答案】（1）E（0，），；（2）當PQ與⊙O1相離，0＜t＜1；當PQ與⊙O1相切時，t=1或t=4；當PQ與⊙O1相交時，4＞t＞1.

【解析】

（1）依題意容易知道O1的坐標，根據(jù)待定系數(shù)法可以確定直線AE的解析式，然后求出E的坐標，最后求出S△ABE；

（2）容易知道當Q運動到O點時PQ與圓相切，此時t=1，所以可以確定其他位置的t的值；

（1）由題意知，A（﹣2，0），B（0，2），

∴OB=OD=2，∴O1（1，1），

設AO1的直線的解析式為y=kx+b，則有0=﹣2k+b，1=k+b，

解得：b=，k=，

∴y=x+，∴E（0，），

∴BE=，S△ABE=OABE=；

（2）直線PQ與⊙O1有三種位置關系，分別是相離，相切，相交，

∵動點P沿A→B→A運動后停止；動點Q沿A→O→D→C→B運動，

∴根據(jù)切線的定義，如果PQ與⊙O1相切，切點只能是O、D、C、B中的一個.

分兩種情況：

①當點P從A點移到B點時，由于OA=OB=2,

∴AB=，

∴t==2，

當t=2時，點Q從A點運動到D點，

當?shù)竭_D點時，點P在B點，顯然不合題意，舍去，

當點Q在O點時，如圖①，此時t=2,連結O1Q、PQ,易知PA=,

∵QA=QB,

∴∠PQB=,

∵O1是正方形ODCB的中心，

∴∠O1QB=,

∴∠PQO1=900,

∴PQ為⊙O1的切線，此時t=1

圖① 圖②

②當點P從B點移到A點時, 點Q從D點經(jīng)過C點到達B點，顯然，當點Q在點C處時，PQ與⊙O1相交，當點Q運動到B點時，點P回到了點A,如圖②，同理可證此時PQ與⊙O1相切，易得t=4，

綜上，當t=1或t=4時，PQ與⊙O1相切，

∴由題意可知：

當PQ與⊙O1相離，0＜t＜1；

當PQ與⊙O1相切時，t=1或t=4；

當PQ與⊙O1相交時，4＞t＞1；