Question

【題目】如圖已知：正方形OCAB，A（2，2），Q（5，7），AB⊥y軸，AC⊥x軸，OA，BC交于點(diǎn)P，若正方形OCAB以O為位似中心在第一象限內(nèi)放大，點(diǎn)P隨正方形一起運(yùn)動(dòng)，當(dāng)PQ達(dá)到最小值時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．以PQ的長為邊長，向PQ的右側(cè)作等邊△PQD，求在這個(gè)位似變化過程中，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長（　�。�

A. 5B. 6C. 2D. 4

Answer 1

【答案】A

【解析】

如圖，連接OQ，以OQ為邊向下作等邊△OQH，連接DH，作QE⊥OA交OA的延長線于E．證明△OQP≌△HQD，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑的長＝點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的長，求出直線OA，EQ的解析式,聯(lián)立方程求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，求解即可.

解：如圖，連接OQ，以OQ為邊向下作等邊△OQH，連接DH，作QE⊥OA交OA的延長線于E．

∵△OQH，△PQD都是等邊三角形，

∴QO＝QH，QP＝QD，∠OQH＝∠PQD＝60°，

∴∠OQP＝∠HQD，

∴△OQP≌△HQD（SAS），

∴OP＝DH，

∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑的長＝點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的長，

∵直線OA的解析式為y＝x，Q（5，7），QE⊥OA，

∴直線EQ使得解析式為y＝﹣x+12，

由 解得

∴E（6，6），

∵P（1，1），

∴

根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，PQ的長最短，

∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的長為

∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)路徑的長為

故選：A．