Question

【題目】對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和（半徑為），給出如下定義：若點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，且，則稱點(diǎn)為的稱心點(diǎn)．

（1）當(dāng)的半徑為2時(shí)，

①如圖1，在點(diǎn)，，中，的稱心點(diǎn)是 ；

②如圖2，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)是的稱心點(diǎn)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；

（2）的圓心為，半徑為2，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，．若線段上的所有點(diǎn)都是的稱心點(diǎn)，直接寫(xiě)出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①，，②或；（2）或

【解析】

（1）①先求出點(diǎn)A，B，C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)A'，B'，C'進(jìn)而求出AA'，BB'，CC'，再判斷即可得出結(jié)論；②先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用新定義建立不等式求解即可得出結(jié)論；

（2）先求出點(diǎn)E，F坐標(biāo)，進(jìn)而求出∠EFO=60°，進(jìn)而找出y軸上到線段EF的距離為2時(shí)的位置，再分情況利用新定義，即可得出結(jié)論．

解：（1）解：（1）①∵A（0，1），

∴點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為A'（0，-1），

∴AA'=1-（-1）=2，

∵⊙O的半徑為2，

∴點(diǎn)A是⊙O的稱心點(diǎn)，

∵B（2，0），

∴點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為B'（-2，0），

∴BB'=2-（-2）=4，

∵⊙O的半徑為2，

∴2＜BB'＜6，

∴點(diǎn)B是⊙O的稱心點(diǎn)，

∵C（3，4），

∴點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為C'（-3，-4），

∴，

∴點(diǎn)C不是的稱心點(diǎn)，

故答案為：點(diǎn)A，B；

②如圖，設(shè)直線與以為圓心，半徑為1和3的兩個(gè)圓的交點(diǎn)從右至左依次為，，，，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),

∵，，

∴，

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,

同理可求得點(diǎn)，，的橫坐標(biāo)分別為，，．

∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，或．

（2）如圖，

在直線中，

當(dāng)x=0時(shí)，y=1，

∴F（0，1），OF=1，

當(dāng)時(shí)，，

∴E（-，0），OE=，

在Rt△EOF中，，

∴，

過(guò)y軸上一點(diǎn)H作直線EF的垂線交線段EF于G，

∵線段EF上的所有點(diǎn)都是⊙T的稱心點(diǎn)，且⊙T的半徑為2，

∴最小值為1，

在中，，

∴，

∴，

當(dāng)點(diǎn)T從H向下移動(dòng)時(shí)，GH，FH，EH越來(lái)越長(zhǎng)，直到點(diǎn)G和E重合，HF取最大值，

∵線段EF上的所有點(diǎn)都是⊙T的稱心點(diǎn)，

∴FH=1-t≤3，

∴t≥-2，EH≤3，

∴，

∴，

∴，

當(dāng)點(diǎn)T從點(diǎn)H向上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)T在FH上時(shí)，T到EF的距離小于2，此種情況不符合題意，

當(dāng)點(diǎn)T從點(diǎn)F向上移動(dòng)時(shí)，ET≥EF，

即：ET≥2，

∵線段EF上的所有點(diǎn)都是⊙T的稱心點(diǎn)，

∴FH≥1，EH≤3，

∴，，

∴，

故：的取值范圍是，或．