【題目】拋物線與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C,其中B(4,0),C(0,2),點P為拋物線上一動點,過點P作PQ平行BC交拋物線于Q.
(1)求拋物線的解析式;
(2)①當(dāng)P、Q兩點重合時,PQ所在直線解析式為 ;②在①的條件下,取線段BC中點M,連接PM,判斷以點P、O、M、B為頂點的四邊形是什么四邊形,并說明理由?
(3)已知N(0,),連接BN,K(3,0),KE∥y軸,交BN于E,x軸上有一動點F,∠EFN=60°,求OF的長.
【答案】(1)y=x2-x+2;(2)①y=-x;②以點P、O、M、B為頂點的四邊形是菱形,理由見解析;(3)1或.
【解析】
(1)把B,C兩點的坐標(biāo)代入,得出方程組求解即可;
(2)①求出BC的解析式為y=-x+2,,因PQ∥BC,可設(shè)出PQ的解析式為y=-x+n,P、Q兩點重合可理解為PQ與拋物線只有一個公共點,由聯(lián)立方程組得到的一元二次方程的根的判別式為0列出方程求得結(jié)果;②根據(jù)題意求出P、M點的坐標(biāo),從而得出OP、OM、BM、BP的長度便可得出結(jié)論;
(3)易證∠BNO=60°,在y軸上取一點L,構(gòu)造等邊△ENL,再作△ENL的外接圓⊙H,該圓與x軸的交點便是滿足條件的F點.根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求得OF便可.
解:(1)把B(4,0),C(0,2)代入y=x2+bx+c得,
,解得,
∴拋物線的解析式為y=x2-x+2;
(2)①設(shè)BC的解析式為:y=kx+m(k≠0),則
,解得,
∴直線BC的解析式為y=-x+2,
∵PQ∥BC,
∴設(shè)直線PQ的解析式為:y=-x+n,
當(dāng)P、Q兩點重合時,即直線PQ與拋物線只有一個公共點,
由方程組,消去y整理得x2-4x+4-2n=0,
∴=16-16+8n=8n=0,∴n=0,
∴PQ的解析式為:y=-x.
故答案為:y=-x;
②如圖1,以點P、O、M、B為頂點的四邊形是菱形.
理由如下:
∵M是BC的中點,B(4,0),C(0,2),
∴M(2,1),
聯(lián)立方程組,解得,
∴P(2,-1),
∴OP=PB=OM=BM=,
∴四邊形OPBM是菱形;
(3)∵N(0,-),B(4,0),∴ON=,OB=4,
∴NB的解析式為y=,
∴tan∠BNO=,
∴∠BNO=60°,
∵K(3,0),KE∥y軸,∴∠KEB=60°,KB=1,
∴KE=,∴E(3,-),
在y軸上取一點L,使得NL=NE,連接LE,則△ENL為等邊三角形,過E作EG⊥y軸于G,作△ENL的外接圓⊙H,與x軸交于點F和F'點,連接FN、F'N、EF、EF'、HA,如圖2,
則∠EFN=∠EF'N=∠ECN=60°,點H在EG上,且HG=EG=1,HA⊥x軸,HA=EK=,HE=HF=HF'=2,
∴AF=AF'=,
∴OF=1,OF'=.
故OF的長為1或.
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【題目】如圖,把一個等腰直角三角形放在平面直角坐標(biāo)系中,∠ACB=90°,點C(-1,0),點B在反比例函數(shù)的圖像上,且y軸平分∠BAC,則k的值是_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,點是弧上一點,且,與交與點.
(1)求證:是的切線;
(2)若平分,求證:;
(3)在(2)的條件下,延長,交于點,若,,求的長和的半徑.
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【題目】如圖,在長方形 ABCD 中,AB=5,AD=13,點 E 為 BC 上一點,將△ABE沿 AE 折疊,使點 B 落在長方形內(nèi)點 F 處,連接 DF 且 DF=12.
(1)試說明:△ADF 是直角三角形;
(2)求 BE 的長.
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【題目】閱讀下面材料:在數(shù)學(xué)課上,老師提出如下問題:
已知:如圖,CD是△ABC的高,
尺規(guī)作圖:在線段CD上求作點P,使∠APB=45°(保留作圖痕跡,寫出作法),
請回答:你推出∠APB=45°的依據(jù)是 .
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【題目】某中學(xué)計劃為鄉(xiāng)村希望小學(xué)購買一些文具送給學(xué)生,為此希望小學(xué)決定圍繞在筆袋、圓規(guī)、直尺和鋼筆四種文具中,你最需要的文具是什么(必選且只選一種)的問題,在全校內(nèi)隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的統(tǒng)計圖,請你根據(jù)圖中所給的信息解答下列問題:
(1)在這次調(diào)查中,一共抽取了多少名學(xué)生?
(2)請通過計算補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若希望小學(xué)共有360名學(xué)生,請你估計全校學(xué)生中最需要鋼筆的學(xué)生有多少名?
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【題目】端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日,人們素有吃粽子的習(xí)俗,某商場在端午節(jié)來臨之際用3000元購進(jìn)、兩種粽子1100個,購買種粽子與購買種粽子的費用相同,已知粽子的單價是種粽子單價的1.2倍.
(1)求、兩種粽子的單價各是多少?
(2)若計劃用不超過7000元的資金再次購買、兩種粽子共2600個,已知、兩種粽子的進(jìn)價不變,求中粽子最多能購進(jìn)多少個?
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【題目】如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象,其頂點坐標(biāo)為(1,n),且與x軸的一個交點在點(3,0)和(4,0)之間.則下列結(jié)論:①a﹣b+c>0;②3a+b=0;③b2=4a(c﹣n);④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個不相等的實數(shù)根.其中正確結(jié)論的是______________(只填序號)
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【題目】對于平面直角坐標(biāo)系中的點和(半徑為),給出如下定義:若點關(guān)于點的對稱點為,且,則稱點為的稱心點.
(1)當(dāng)的半徑為2時,
①如圖1,在點,,中,的稱心點是 ;
②如圖2,點在直線上,若點是的稱心點,求點的橫坐標(biāo)的取值范圍;
(2)的圓心為,半徑為2,直線與軸,軸分別交于點,.若線段上的所有點都是的稱心點,直接寫出的取值范圍.
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