Question

【題目】（10分）如圖，已知⊙O上依次有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，=，連接AB、AD、BD，弦AB不經(jīng)過(guò)圓心O，延長(zhǎng)AB到E，使BE=AB，連接EC，F是EC的中點(diǎn)，連接BF．

（1）求證：BF=BD；

（2）設(shè)G是BD的中點(diǎn)，探索：在⊙O上是否存在點(diǎn)P（不同于點(diǎn)B），使得PG=PF？并說(shuō)明PB與AE的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，作圖略；PG=PF．

【解析】試題分析：（1）利用三角形中位線定理得出BF=AC，再利用圓心角定理得出=，進(jìn)而得出BF=BD；

（2）首先過(guò)點(diǎn)B作AE的垂線，與⊙O的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，得出BP⊥AE，進(jìn)而證明△PBG≌△PBF（SAS），求出PG=PF．

試題解析：（10分）

（1）證明：連接AC，

∵AB=BE，∴點(diǎn)B為AE的中點(diǎn)，

∵F是EC的中點(diǎn)，∴BF為△EAC的中位線，∴BF=AC，

∵=，∴+=+，∴=，∴BD=AC，∴BF=BD；

（2）解：過(guò)點(diǎn)B作AE的垂線，與⊙O的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，

∵BF為△EAC的中位線，∴BF∥AC，∴∠FBE=∠CAE，

∵=，∴∠CAB=∠DBA，

∵由作法可知BP⊥AE，∴∠GBP=∠FBP，

∵G為BD的中點(diǎn)，∴BG=BD，∴BG=BF，

在△PBG和△PBF中，

，

∴△PBG≌△PBF（SAS），∴PG=PF．