【題目】如圖,四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形,且對(duì)角線AC為直徑,AD=BC,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC,垂足為E,DG分別與AB,⊙O及CB延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、G、M.
(1)求證:四邊形ABCD為矩形;
(2)若N為MF中點(diǎn),求證:NB是⊙O的切線;
(3)若F為GE中點(diǎn),且DE=6,求⊙O的半徑.
【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)⊙O的半徑是.
【解析】
(1)根據(jù)AC為⊙O直徑,得到∠ADC=∠CBA=90°,通過(guò)全等三角形得到CD=AB,推出四邊形ABCD是平行四邊形,根據(jù)矩形的判定定理得到結(jié)論;
(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到NB=MF=NF,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)即可得到NB是⊙O的切線;
(3)根據(jù)垂徑定理得到DE=GE=6,根據(jù)四邊形ABCD是矩形,得到∠BAD=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠FAE=∠ADE,推出△AEF∽△DEA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式得到AE=3,連接OD,設(shè)⊙O的半徑為r,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
解:(1)∵AC為⊙O直徑,
∴∠ADC=∠CBA=90°,
在Rt△ADC與Rt△CBA中,,
∴Rt△ADC≌Rt△CBA,
∴CD=AB,
∵AD=BC,
∴四邊形ABCD是平行四邊形,
∵∠CBA=90°,
∴四邊形ABCD是矩形;
(2)連接OB,
∵∠MBF=∠ABC=90°,
∴NB=MF=NF,
∴∠1=∠2,
∵∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∵OB=OA,
∴∠5=∠4,
∵DG⊥AC,
∴∠AEF=90°,
∴∠3+∠4=90°,
∴∠1+∠5=90°,
∴OB⊥NB,
∴NB是⊙O的切線;
(3)∵AC為⊙O直徑,AC⊥DG,
∴DE=GE=6,
∵F為GE中點(diǎn),
∴EF=GF=3,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠BAD=90°,
∴∠FAE+∠DAE=90°,
∵∠ADE+∠DAE=90°,
∴∠FAE=∠ADE,
∵∠AEF=∠DEA=90°,
∴△AEF∽△DEA,
∴,
∴AE=3,
連接OD,設(shè)⊙O的半徑為r,
∴OA=OD=r,OE=r﹣3,
∵OE2+DE2=OD2,
∴(r﹣3)2+62=r2,
∴r=,
∴⊙O的半徑是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,AB是曲線,BC是線段,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以不變的速度沿A﹣B﹣C運(yùn)動(dòng),到終點(diǎn)C停止,過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線分別交x軸、y軸于點(diǎn)M、點(diǎn)N,設(shè)矩形MONP的面積為S運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(秒),S與t的函數(shù)關(guān)系如圖2所示,(FD為平行x軸的線段)
(1)直接寫出k、a的值.
(2)求曲線AB的長(zhǎng)l.
(3)求當(dāng)2≤t≤5時(shí)關(guān)于的函數(shù)解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某數(shù)學(xué)興趣小組同學(xué)進(jìn)行測(cè)量大樹CD高度的綜合實(shí)踐活動(dòng),如圖,在點(diǎn)A處測(cè)得直立于地面的大樹頂端C的仰角為36°,然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡頂B處,然后再沿水平方向行走6米至大樹腳底點(diǎn)D處,斜面AB的坡度(或坡比)i=1:2.4,求大樹CD的高度?(參考數(shù)據(jù):sin36°≈0.59,cos36°≈0.81,tan36°≈0.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C、D為x軸上動(dòng)點(diǎn),若CD=3AB,四邊形ABCD的面積為4,則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】近幾年購(gòu)物的支付方式日益增多,某數(shù)學(xué)興趣小組就此進(jìn)行了抽樣調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示,支付方式有:A微信、B支付寶、C現(xiàn)金、D其他,該小組對(duì)某超市一天內(nèi)購(gòu)買者的支付方式進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),得到如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)本次一共調(diào)查了多少名購(gòu)買者?
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;在扇形統(tǒng)計(jì)圖中A種支付方式所對(duì)應(yīng)的圓心角為 度.
(3)若該超市這一周內(nèi)有1600名購(gòu)買者,請(qǐng)你估計(jì)使用A和B兩種支付方式的購(gòu)買者共有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于第二、四象限的,兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),,,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)請(qǐng)根據(jù)圖象直接寫出的自變量的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,點(diǎn)O在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D,連接BD、CD,過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)求證:△ABD∽△DCP;
(3)當(dāng)AB=5cm,AC=12cm時(shí),求線段PC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC上的高,且BC=9,AD=3,矩形EFGH的頂點(diǎn)F、G在邊BC上,頂點(diǎn)E、H分別在邊AB和AC上,如果設(shè)邊EF的長(zhǎng)為x(0<x<3),矩形EFGH的面積為y,那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一游客步行從賓館C出發(fā),沿北偏東60°的方向行走到1000米的人民公園A處,參觀后又從A處沿正南方向行走一段距離到達(dá)位于賓館南偏東45°方向的凈業(yè)寺B處,如圖所示.
(1)求這名游客從人民公園到凈業(yè)寺的途中到賓館的最短距離;
(2)若這名游客以80米/分的速度從凈業(yè)寺返回賓館,那么他能在10分鐘內(nèi)到達(dá)賓館嗎?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.(假設(shè)游客行走的路線均是沿直線行走的)
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