Question

【題目】如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘數(shù)”

（1）請說明28是否為“神秘數(shù)”；

（2）下面是兩個同學演算后的發(fā)現(xiàn)，請選擇一個“發(fā)現(xiàn)”，判斷真假，并說明理由．

①小能發(fā)現(xiàn)：兩個連續(xù)偶數(shù)和（其中取非負整數(shù)）構造的“神秘數(shù)”也是4的倍數(shù)．

②小仁發(fā)現(xiàn)：2016是“神秘數(shù)”．

提示：（2）中兩個發(fā)現(xiàn)，只需解答其中一個，若兩個都做，按“小能發(fā)現(xiàn)”的解答計分．

Answer 1

【答案】（1）是，證明見解析；（2）①由2k＋2和2k構造的“神秘數(shù)”是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍. 證明見解析；②2016是“神秘數(shù)”是假命題,證明見解析.

【解析】

對于（1）結合神秘數(shù)的定義，看是否可以將28寫成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，即可得出答案；

(2) 對于①，兩個連續(xù)偶數(shù)構造的神秘數(shù)為(2k+2)2-(2k)2，化簡看是否是4的倍數(shù)；

對于②，結合神秘數(shù)的定義，看是否可以將2016寫成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，即可得出答案；

（1）28是“神秘數(shù)”,理由如下：

∵28=82-62

∴28是“神秘數(shù)”

（2）當選擇①時，(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)，

∴由2k＋2和2k構造的“神秘數(shù)”是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍.

②當選擇②時，2016是“神秘數(shù)”是假命題,

理由:

=

=8k+4,

令8k+4=2016，得k=251.5,

∵k為須整數(shù),

∴k=251.5不符合實際，舍去,

∴201 6是“神秘數(shù)"錯誤.