Question

如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，過C作AB的垂線l交⊙O于另一點D，垂足為E．設P是

AC

上異于A，C的一個動點，射線AP交l于點F，連接PC與PD，PD交AB于點G．
（1）求證：△PAC∽△PDF；
（2）若AB=5，

AP

=

BP

，求PD的長；
（3）在點P運動過程中，設

AG

BG

=x，tan∠AFD=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（不要求寫出x的取值范圍）

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個角相等或邊長成比例．因為題中因圓周角易知一對相等的角，那么另一對角相等就是我們需要努力的方向，因為涉及圓，傾向于找接近圓的角∠DPF，利用補角在圓內(nèi)作等量代換，等弧對等角等知識易得∠DPF=∠APC，則結(jié)論易證．
（2）求PD的長，且此線段在上問已證相似的△PDF中，很明顯用相似得成比例，再將其他邊代入是應有的思路．利用已知條件易得其他邊長，則PD可求．
（3）因為題目涉及∠AFD與也在第一問所得相似的△PDF中，進而考慮轉(zhuǎn)化，∠AFD=∠PCA，連接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，過G點作AB的垂線，若此線過PB與AC的交點那么結(jié)論易求，因為根據(jù)三角函數(shù)或三角形與三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所對的這條高線．但是“此線是否過PB與AC的交點”？此時首先需要做的是多畫幾個動點P，觀察我們的猜想．驗證得我們的猜想應是正確的，可是證明不能靠畫圖，如何求證此線過PB與AC的交點是我們解題的關(guān)鍵．常規(guī)作法不易得此結(jié)論，我們可以換另外的輔助線作法，先做垂線，得交點H，然后連接交點與B，再證明∠HBG=∠PCA=∠AFD．因為C、D關(guān)于AB對稱，可以延長CG考慮P點的對稱點．根據(jù)等弧對等角，可得∠HBG=∠PCA，進而得解題思路．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，
∴AB是直徑，
又∵AB⊥CD，
∵

AC

=

AD

，
∴∠DPF=180°-∠APD=180°-

AD

所對的圓周角=180°-

AC

所對的圓周角=

ADC

所對的圓周角=∠APC．
在△PAC和△PDF中，

∠APC=∠DPF ∠PAC=∠PDF

，
∴△PAC∽△PDF．

（2）解：如圖1，連接PO，則由

AP

=

BP

，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都為等腰直角三角形．

在Rt△ABC中，
∵AC=2BC，
∴AB²=BC²+AC²=5BC²，
∵AB=5，
∴BC=

5

，
∴AC=2

5

，
∴CE=AC•sin∠BAC=AC•

BC

AB

=2

5

•

5

5

=2，
  AE=AC•cos∠BAC=AC•

AC

AB

=2

5

•

2 5

5

=4，
∵△AEF為等腰直角三角形，
∴EF=AE=4，
∴FD=FC+CD=（EF-CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．
∵△APO為等腰直角三角形，AO=

1

2

•AB=

5

2

，
∴AP=

5 2

2

．
∵△PDF∽△PAC，
∴

PD

FD

=

PA

CA

，
∴

PD

6

=

5 2 2

2 5

，
∴PD=

3 10

2

．

（3）解：如圖2，過點G作GH⊥AB，交AC于H，連接HB，以HB為直徑作圓，連接CG并延長交⊙O于Q，

∵HC⊥CB，GH⊥GB，
∴C、G都在以HB為直徑的圓上，
∴∠HBG=∠ACQ，
∵C、D關(guān)于AB對稱，G在AB上，
∴Q、P關(guān)于AB對稱，
∴

AP

=

AQ

，
∴∠PCA=∠ACQ，
∴∠HBG=∠PCA．
∵△PAC∽△PDF，
∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，
∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=

HG

BG

．
∵HG=tan∠HAG•AG=tan∠BAC•AG=

BC

AC

•AG=

1

2

•AG，
∴y=

1

2

•

AG

BG

=

1

2

x．

點評：本題考查了圓周角、相似三角形、三角函數(shù)等性質(zhì)，前兩問思路還算簡單，但最后一問需要熟練的解題技巧需要長久的磨練總結(jié)．總體來講本題偏難，學生練習時加強理解，重點理解分析過程，自己如何找到思路．