Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在的正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,4)一次函數(shù)的圖象與邊OC、AB分別交于點(diǎn)D、E，并且滿足OD= BE.點(diǎn)M是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求b的值；

(2)連結(jié)OM，若三角形ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1：3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)N是軸上方平面內(nèi)的一點(diǎn)，以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；

（2）M(1, )；

（3）當(dāng)四邊形OMDN是菱形時(shí)，M(,)N(,)

【解析】分析：（1）首先在一次函數(shù)的解析式中令x=0，即可求得D的坐標(biāo)，則OD的長(zhǎng)度即可求得，OD=b，則E的坐標(biāo)即可利用b表示出來(lái)，然后代入一次函數(shù)解析式即可得到關(guān)于b的方程，求得b的值；（2）首先求得四邊形OAED的面積，則△ODM的面積即可求得，設(shè)出M的橫坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得M的坐標(biāo)；（3）分成四邊形OMDN是菱形和四邊形OMND是菱形兩種情況進(jìn)行討論，四邊形OMDN是菱形時(shí)，M是OD的中垂線與DE的交點(diǎn)，M關(guān)于OD的對(duì)稱點(diǎn)就是N；四邊形OMND是菱形，OM=OD，M在直角DE上，設(shè)出M的坐標(biāo)，根據(jù)OM=OD即可求得M的坐標(biāo)，則根據(jù)ON和DM的中點(diǎn)重合，即可求得N的坐標(biāo)．

本題解析：(1)y= x+b中,令x=0,解得y=b,則D的坐標(biāo)是(0,b)，OD=b，

∵OD=BE，

∴BE=b,則E的坐標(biāo)是(3,4b)，

把E的坐標(biāo)代入y=x+b得4b=2+b，

解得：b=3；

(2) ，

∵三角形ODM的面積與四邊形OAEM的面積之比為1:3，

∴ .

設(shè)M的橫坐標(biāo)是a,則 ×3a=1.5，解得：a=1,

把x=a=1代入y=x+3得y=×+3= .

則M的坐標(biāo)是(1, )；

(3)當(dāng)四邊形OMDN是菱形時(shí),如圖(1),M的縱坐標(biāo)是 ,把y=代入y=x+3,得x+3=,解得：x=，

則M的坐標(biāo)是(,)，

則N的坐標(biāo)是(,)；

當(dāng)四邊形OMND是菱形時(shí),如圖(2)OM=OD=3,設(shè)M的橫坐標(biāo)是m,則縱坐標(biāo)是m+3，則，

解得：m=或0(舍去).

則M的坐標(biāo)是(,).

則DM的中點(diǎn)是(,).

則N的坐標(biāo)是(,).

故N的坐標(biāo)是(,)或(,).