Question

【題目】如圖已知P為⊙O外一點(diǎn)，PA為⊙O的切線，B為⊙O上一點(diǎn)，且PA=PB，C為優(yōu)弧 上任意一點(diǎn)（不與A、B重合），連接OP、AB，AB與OP相交于點(diǎn)D，連接AC、BC．

（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若tan∠BCA= ，⊙O的半徑為 ，求弦AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OA，OB，如圖所示：

∵AP為圓O的切線，

∴∠OAP=90°，

在△OAP和△OBP中，

，

∴△OAP≌△OBP（SSS），

∴∠OAP=∠OBP=90°，

則BP為圓O的切線；

（2）

解：延長線段BO，與圓O交于E點(diǎn)，連接AE，

∵BE為圓O的直徑，∴∠BAE=90°，

∵∠AEB和∠ACB都對 ，

∴∠AEB=∠ACB，

∴tan∠AEB=tan∠ACB= ，

設(shè)AB=2x，則AE=3x，

在Rt△AEB中，BE=2 ，

根據(jù)勾股定理得：（2x）2+（3x）2=（2 ）2，

解得：x=2或x=﹣2（舍去），

則AB=2x=4．

【解析】（1）連接OA，OB，根據(jù)AP為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到∠OAP為直角，由半徑OA=OB，已知AP=BP，以及公共邊OP，利用SSS得出△OAP≌△OBP，利用全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠OBP為直角，即BP垂直于OB，可得出BP為圓O的切線；（2）延長BO與圓交于點(diǎn)E，連接AE，利用同弧所對的圓周角相等得到∠AEB=∠ACB，可得出tan∠AEB的值，由BE為圓O的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角，得到∠BAE為直角，在直角三角形AEB中，設(shè)AB=2x，得到AE=3x，再由直徑BE的長，利用勾股定理得到關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出弦AB的長．
【考點(diǎn)精析】掌握垂徑定理和解直角三角形是解答本題的根本，需要知道垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．