Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點O是坐標原點，點A在第一象限，點C在第四象限，點B在x軸的正半軸上．∠OAB=90°且OA=AB，OB，OC的長分別是一元二次方程的兩個根（OB＞OC）．

（1）求點A和點B的坐標．

（2）點P是線段OB上的一個動點（點P不與點O，B重合），過點P的直線l與y軸平行，直線l交邊OA或邊AB于點Q，交邊OC或邊BC于點R．設點P的橫坐標為t，線段QR的長度為m．已知t=4時，直線l恰好過點C．當0＜t＜3時，求m關于t的函數(shù)關系式．

（3）當m=3.5時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）A（3，3）， B（6，0）；（2）m=t（0＜t＜3）；（3）P（2，0）或（，0）．

【解析】

（1）先利用因式分解法解方程可得到OB=6，OC=5，則B點坐標為（6，0），作AM⊥x軸于M，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得OM=BM=AM=OB=3，于是可寫出B點坐標；

（2）作CN⊥x軸于N，如圖，先利用勾股定理計算出CN得到C點坐標為（4，﹣3），再利用待定系數(shù)法分別求出直線OC的解析式為，直線OA的解析式為y=x，則根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到Q（t，t），R（t，t），所以QR=t﹣（t），從而得到m關于t的函數(shù)關系式．

（3）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式為y=﹣x+6，直線BC的解析式為，然后分類討論：當0＜t＜3時，利用t=3.5可求出t得到P點坐標；

當3≤t＜4時，則Q（t，﹣t+6），R（t，t），于是得到﹣t+6﹣（t）=3.5，解得t=10，不滿足t的范圍舍去；當4≤t＜6時，則Q（t，﹣t+6），R（t，），所以﹣t+6﹣（）=3.5，然后解方程求出t得到P點坐標．

（1）∵方程的解為=5，=6，

∴OB=6，OC=5，

∴B點坐標為（6，0），

作AM⊥x軸于M，如圖，

∵∠OAB=90°且OA=AB，

∴△AOB為等腰直角三角形，

∴OM=BM=AM=OB=3，

∴A點坐標為（3，3）；

（2）作CN⊥x軸于N，如圖，

∵t=4時，直線l恰好過點C，

∴ON=4，在Rt△OCN中，CN===3，

∴C點坐標為（4，﹣3），

設直線OC的解析式為y=kx，把C（4，﹣3）代入得4k=﹣3，解得k=，

∴直線OC的解析式為，設直線OA的解析式為y=ax，

把A（3，3）代入得3a=3，解得a=1，

∴直線OA的解析式為y=x，

∵P（t，0）（0＜t＜3），

∴Q（t，t），R（t，t），

∴QR=t﹣（t）=t，即m=t（0＜t＜3）；

（3）設直線AB的解析式為y=px+q，把A（3，3），B（6，0）代入得：，解得：，

∴直線AB的解析式為y=﹣x+6，

同理可得直線BC的解析式為；

當0＜t＜3時，m=t，

若m=3.5，則t=3.5，

解得t=2，此時P點坐標為（2，0）；

當3≤t＜4時，Q（t，﹣t+6），R（t，t），

∴m=﹣t+6﹣（t）=t+6，

若m=3.5，則t+6=3.5，

解得t=10（不合題意舍去）；

當4≤t＜6時，Q（t，﹣t+6），R（t，），

∴m=﹣t+6﹣（）=t+15，

若m=3.5，則t+15=3.5，解得t=，

此時P點坐標為（，0），

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（2，0）或（，0）．