Question

【題目】如圖1，已知矩形AOCB，AB=6cm，BC=16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)O為止；動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)P同時(shí)結(jié)束運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2s時(shí)，P、Q兩點(diǎn)的距離為　 　cm；

（2）請(qǐng)你計(jì)算出發(fā)多久時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是10cm；

（3）如圖2，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，1cm長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立平面直角坐標(biāo)系，連結(jié)AC，與PQ相交于點(diǎn)D，若雙曲線過點(diǎn)D，問k的值是否會(huì)變化？若會(huì)變化，說明理由；若不會(huì)變化，請(qǐng)求出k的值．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）t=或t=，理由見解析；（3）k的值是不會(huì)變化，k= ,理由見解析

【解析】

（1）構(gòu)造出直角三角形，再求出PE，QE，利用勾股定理即可得出結(jié)論；

（2）同（2）的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出結(jié)論；

（3）先求出直線AC解析式，再求出點(diǎn)P，Q坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線PQ解析式，聯(lián)立兩解析式即可得出結(jié)論．

（1）如圖1，由運(yùn)動(dòng)知，AP=3×2=6cm，CQ=2×2=4cm，

過點(diǎn)P作PE⊥BC于E，過點(diǎn)Q作QF⊥OA于F，

∴四邊形APEB是矩形，

∴PE=AB=6，BE=6，

∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6，

根據(jù)勾股定理得，PQ=6，

故答案為6；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，

由運(yùn)動(dòng)知，AP=3t，CQ=2t，

同（2）的方法得，PE=6，EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t，

∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q之間的距離是10cm，

∴62+（16﹣5t）2=100，

∴t=或t=；

（3）k的值是不會(huì)變化，

理由：∵四邊形AOCB是矩形，

∴OC=AB=6，OA=16，

∴C（6，0），A（0，16），

設(shè)AC直線為y=kx+b，

把C（6，0），A（0，16）代入得，解得

∴直線AC的解析式為y=﹣x+16①，

設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，

∴AP=3t，CQ=2t，

∴OP=16﹣3t，

∴P（0，16﹣3t），Q（6，2t），

設(shè)PQ直線為y=kx+b，

把P（0，16﹣3t），Q（6，2t），代入得，解得

∴PQ解析式為y=x+16﹣3t②，

聯(lián)立①②解得，x=，y=，

∴D（，），

∴k=×=是定值．