【題目】如圖,直線y=﹣x﹣4與拋物線y=ax2+bx+c相交于A,B兩點,其中A,B兩點的橫坐標分別為﹣1和﹣4,且拋物線過原點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)在坐標軸上是否存在點C,使△ABC為等腰三角形?若存在,求出點C的坐標,若不存在,請說明理由;

(3)若點P是線段AB上不與A,B重合的動點,過點P作PE∥OA,與拋物線第三象限的部分交于一點E,過點E作EG⊥x軸于點G,交AB于點F,若S△BGF=3S△EFP,求的值.

【答案】(1)拋物線解析式為y=x2+4x;(2)存在滿足條件的點C,其坐標為(0,﹣3﹣)或(0,﹣3﹣)或(﹣4+3,0)或(﹣4﹣3,0)或(﹣1,0)或(0,1)或(2,0)或(0, )或(0,﹣);(3)

【解析】試題分析:(1)由直線解析式可分別求得A、B兩點的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

(2)當AB=AC時,點C在y軸上,可表示出AC的長度,可求得其坐標;當AB=BC時,可知點C在x軸上,可表示出BC的長度,可求得其坐標;當AC=BC時點C在線段AB的垂直平分線與坐標軸的交點處,可求得線段AB的中點的坐標,可求得垂直平分線的解析式,則可求得C點坐標;

(3)過點P作PQ⊥EF,交EF于點Q,過點A作AD⊥x軸于點D,可證明△PQE∽△ODA,可求得EQ=3PQ,再結合F點在直線AB上,可求得FQ=PQ,則可求得EF=4PQ,利用三角形的面積的關系可求得GF與PQ的關系,則可求得比值.

試題解析:(1)∵A,B兩點在直線y=﹣x﹣4上,且橫坐標分別為﹣1、﹣4,

∴A(﹣1,﹣3),B(﹣4,0),

∵拋物線過原點,

∴c=0,

把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得 ,解得 ,

∴拋物線解析式為y=x2+4x;

(2)∵△ABC為等腰三角形,

∴有AB=AC、AB=BC和CA=CB三種情況,

①當AB=AC時,當點C在y軸上,設C(0,y),

則AB= =3 ,AC=

∴3=,解得y=﹣3﹣ 或y=﹣3+,

∴C(0,﹣3﹣)或(0,﹣3﹣);

當點C在x軸上時,設C(x,0),則AC=,

=3,解得x=﹣4或x=2,當x=﹣4時,B、C重合,舍去,

∴C(2,0);

②當AB=BC時,當點C在x軸上,設C(x,0),

則有AB=3,BC=|x+4|,

∴|x+4|=3,解得x=﹣4+3或x=﹣4﹣3,

∴C(﹣4+3,0)或(﹣4﹣3,0);

當點C在y軸上,設C(0,y),則BC=,

=3,解得y=或y=﹣,

∴C(0, )或(0,﹣);

③當CB=CA時,則點C在線段AB的垂直平分線與y軸的交點處,

∵A(﹣1,﹣3),B(﹣4,0),

∴線段AB的中點坐標為(﹣,﹣),

設線段AB的垂直平分線的解析式為y=x+d,

∴﹣=﹣+d,解得d=1,

∴線段AB的垂直平分線的解析式為y=x+1,

令x=0可得y=1,令y=0可求得x=﹣1,

∴C(﹣1,0)或(0,1);

綜上可知存在滿足條件的點C,其坐標為(0,﹣3﹣)或(0,﹣3﹣)或(﹣4+3,0)或(﹣4﹣3,0)或(﹣1,0)或(0,1)或(2,0)或(0, )或(0,﹣);

(3)過點P作PQ⊥EF,交EF于點Q,過點A作AD⊥x軸于點D,

∵PE∥OA,GE∥AD,

∴∠OAD=∠PEG,∠PQE=∠ODA=90°,

∴△PQE∽△ODA,

=3,即EQ=3PQ,

∵直線AB的解析式為y=﹣x﹣4,

∴∠ABO=45°=∠PFQ,

∴PQ=FQ,BG=GF,

∴EF=4PQ,

∴GE=GF+4PQ,

∵S△BGF=3S△EFP,

GF2=3××4PQ2,

∴GF=2 PQ,

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