【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c,經過矩形OABC的A(3,0),C(0,2),連結OB.D為橫軸上一個動點,連結CD,以CD為直徑作⊙M,與線段OB有一個異于點O的公共點E,連結DE.過D作DF⊥DE,交⊙M于F.
(1)求拋物線的解析式;
(2)tan∠FDC的值;
(3)①當點D在移動過程中恰使F點落在拋物線上,求此時點D的坐標;
②連結BF,求點D在線段OA上移動時,BF掃過的面積.
【答案】(1) y=﹣x2+
x+2;(2)
;(3)①(﹣
,0);②3
【解析】
(1)將點A、C的坐標代入拋物線的表達式,即可求解;
(2) 連接CE、CF、FO,證明∠FDC=∠ECD=∠EOD=∠BOA,即可求解;
(3) ①如圖2,連接FO,則∠FOG=∠FCD,證明∠FOG=∠FCD=∠CDE=∠COE,通過tan∠FOG=tan∠COB=,來確定直線OF的表達式,進而求解;
②如圖3,當點D、O重合時,連接CF、BF,由①知tan∠FOG=,設FG=3a,則OG=2a=HC,HF=2﹣GF=2﹣3a,由①同理可得:△CHF∽△FGO,則
,求得a的值,根據BF掃過的面積為△BOF的面積,即可求解.
解:(1)將點A、C的坐標代入拋物線的表達式得: ,
解得:,
故拋物線的解析式為:y=﹣x2+
x+2;
(2)如圖1,連接CE、CF、FO,
∵CD是直徑,
∴∠CED=90°,即CE⊥DE,
又∵DF⊥DE,
∴∠FDC=∠ECD=∠EOD=∠BOA,
∴tan∠FDC=tan∠BOA=;
(3)①如圖2,
連接FO,則∠FOG=∠FCD,
∵CD是直徑,
∴∠CFD=90°,
同理∠FDE=90°,
∴FC∥DE,
∴∠FCD=∠CDE=∠COE,
∴∠FOG=∠FCD=∠CDE=∠COE,
∴tan∠FOG=tan∠COE=tan∠COB=,
故直線OF的表達式為:y=﹣x②,
聯(lián)立①②并解得:,故點F(﹣1,
);
過點F作y軸的平行線GH,交x軸于點G,交過點C與x軸的平行線于點H,
∴FG=,CH=1,HF=2﹣
=
,
∵∠HFC+∠GFD=90°,∠HFC+∠HCF=90°,
∴∠HCF=∠GFD,
又∠CHF=∠FGD=90°,
∴△CHF∽△FGD,
∴,即
,解得:GD=
,
∴OD=1﹣=
,
故點D的坐標為:(﹣,0);
②如圖3,當點D、O重合時,連接CF、BF,
則BF掃過的面積為△BOF的面積,∠CFO=90°,
過點F作y軸的平行線HG,交x軸于點G,交過點C與x軸的平行線于點H,
由①同理可得:△CHF∽△FGO,則,
由①知tan∠FOG=,設FG=3a,則OG=2a=HC,HF=2﹣GF=2﹣3a,
∴,解得:a=
;
在Rt△FOG中,FO=,
同理在Rt△AOB中,OB=,
∵EF是圓的直徑,故OF⊥OE,
BF掃過的面積=S△BOF=×BO×FO=
,
故BF掃過的面積為3.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】為了預防新冠肺炎,某藥店銷售甲、乙兩種防護口罩,已知甲口罩每袋的售價比乙口罩多5元,小明從該藥店購買了3袋甲口罩和2袋乙口罩共花費115元.
(1)求該藥店甲、乙兩種口罩每袋的售價分別為多少元?
(2)根據消費者需求,藥店決定用不超過8000元購進甲、乙兩種口罩共400袋.已知甲口罩每袋的進價為22.2元,乙口罩每袋的進價為17.8元,要使藥店獲利最大,應該購進甲、乙兩種口罩各多少袋,并求出最大利潤.
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【題目】如圖,一次函數y=kx+b的圖象與反比例函數y=的圖象交于A(﹣2,1),B(1,n)兩點.
(1)求反比例函數和一次函數的解析式;
(2)根據圖象寫出使一次函數的值>反比例函數的值的x的取值范圍.
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【題目】某公司計劃投資萬元引進一條汽車配件流水生產線,經過調研知道該流水生產線的年產量為
件,每件總成本為
萬元,每件出廠價
萬元;流水生產線投產后,從第
年到第
年的維修、保養(yǎng)費用累計
(萬元)如下表:
第 | ··· | ||||||
維修、保養(yǎng)費用累計 | ··· |
若上表中第年的維修、保養(yǎng)費用累計
(萬元)與
的數量關系符合我們已經學過的一次函數、二次函數、反比例函數中某一個.
(1)求出關于
的函數解析式;
(2)投產第幾年該公司可收回萬元的投資?
(3)投產多少年后,該流水線要報廢(規(guī)定當年的盈利不大于維修、保養(yǎng)費用累計即報費)?
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【題目】如圖,在一坡角40°,坡面長AC=100m的小山頂上安裝了一電信基站AB,在山底的C處,測得塔頂仰角為60°,求塔的高AB.(精確到0.1m)(以下供參考:sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84,≈1.73)
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【題目】如圖,點A(2,m),B(-2,3m)分別在反比例函數和
的圖象上,經過點A、B的直線與y軸相交于點C.
(1)求m和k的值;
(2)求△AOB的面積.
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【題目】已知汽車燃油箱中的y(單位:升)與該汽車行駛里程數x(單位:千米)是一次函數關系.賈老師從某汽車租賃公司租借了一款小汽車,擬去距離出發(fā)地600公里的目的地旅游(出發(fā)之前,賈老師往該汽車燃油箱內注滿了油).行駛了200千米之后,汽車燃油箱中的剩余油量為40升;又行駛了100千米,汽車燃油箱中的剩余油量為30升.
(1)求y關于x的函數關系式(不要求寫函數的定義域);
(2)當汽車燃油箱中的剩余油量為8升的時候,汽車儀表盤上的燃油指示燈就會亮起來.在燃油指示燈亮起來之前,賈老師駕駛該車可否抵達目的地?請通過計算說明.
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【題目】如圖,已知反比例函數y=(x>0)的圖象與一次函數y=﹣
x+4的圖象交于A和B(6,n)兩點.
(1)求k和n的值;
(2)若點C(x,y)也在反比例函數y=(x>0)的圖象上,求當2≤x≤6時,函數值y的取值范圍.
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