【題目】如圖,為半圓的直徑,,延長線上一動點,中點,,交半徑,連.下列結論:①;②;③;④為定值.其中正確結論的個數(shù)為(

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

根據(jù)題意可得的垂直平分線,的垂直平分線,可得點的外心,根據(jù)圓周角定理可得∠AEP=2ABC,進而可判斷①;

連接AC,如圖1,根據(jù)圓周角定理的推論并結合①的結論可得點和點在以點為圓心的同一個圓上,于是可判斷②;

連接BE,如圖2,由①知點的外心,然后根據(jù)圓周角定理即可判斷③;

如圖1,在直角中,利用銳角三角函數(shù)和③的結論可得,然后將進行整理變形即得結論,進而可判斷④,于是可得答案.

解:①∵點的中點,,∴的垂直平分線,

是半的直徑,,∴的垂直平分線,

∴點的外心,

,∴,

,故①正確;

②連接AC,如圖1,∵是半的直徑,∴,

∴點和點在以點為圓心的同一個圓上,∴,故②正確;

③連接BE,如圖2,由①知點的外心,∴,故③正確;

④如圖1,在直角中,,

為定值,是半徑的倍,故④正確.

故選:D

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