Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC>AB，在BC邊上取點(diǎn)D，使AB=BD，構(gòu)造正方形ABDE，DE交AC于點(diǎn)F，作EG⊥AC交AC于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H．

(1)求證：△AEF≌△EDH．

(2)若AB=3，DH=2DF，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）4.5

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，通過“角邊角”即可得證；

（2）設(shè)DF=x，則DH=2x，由（1）可得ED=EF+DF=3x=AB，易證△DFC∽△BAC，則，求得DC=，進(jìn)而求得BC的長(zhǎng).

證明：(1)∵四邊形ABDE是正方形，

∴AE=DE，∠AED=∠EDH=90°，

∵EG⊥AC，

∴∠AGE=90°，

∴∠GAE+∠AEG=∠AEG+∠DEH=90°，

∴∠GAE=∠DEH，

在△AEF和△EDH中，

∵,

∴△AEF≌△EDH（ASA）；

(2)設(shè)DF=x，則DH=2x，

∵△AEF≌△EDH．

∴EF=DH=2x，

∴ED=EF+DF=3x=AB，

∵四邊形ABDE是正方形，

∴AB∥DF，

∴△DFC∽△BAC，

∴，

∵BD=3，

∴DC=，

∴BC=BD+CD=3+=4.5.