【題目】(1)(學(xué)習(xí)心得)
于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后,感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓,運(yùn)用圓的知識解決,可以使問題變得非常容易.
例如:如圖1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是△ABC外一點(diǎn),且AD=AC,求∠BDC的度數(shù).若以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑作輔助⊙A,則點(diǎn)C、D必在⊙A上,∠BAC是⊙A的圓心角,而∠BDC是圓周角,從而可容易得到∠BDC= °.
(2)(問題解決)
如圖2,在四邊形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,∠BDC=25°,求∠BAC的度數(shù).
(3)(問題拓展)
如圖3,如圖,E,F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點(diǎn),滿足AE=DF.連接CF交BD于點(diǎn)G,連接BE交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長為2,則線段DH長度的最小值是 .
【答案】(1)45;(2)∠BAC=25°;(3)﹣1
【解析】
(1)利用同弦所對的圓周角是所對圓心角的一半求解.
(2)由A、B、C、D共圓,得出∠BDC=∠BAC,
(3)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,然后利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠1=∠2,利用“SAS”證明△ADG和△CDG全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠2=∠3,從而得到∠1=∠3,然后求出∠AHB=90°,取AB的中點(diǎn)O,連接OH、OD,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=AB=1,利用勾股定理列式求出OD,然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時,DH的長度最。
解:(1)如圖1,
∵AB=AC,AD=AC,
∴以點(diǎn)A為圓心,點(diǎn)B、C、D必在⊙A上,
∵∠BAC是⊙A的圓心角,而∠BDC是圓周角,
∴∠BDC=∠BAC=45°,
故答案是:45;
(2)如圖2,取BD的中點(diǎn)O,連接AO、CO.
∵∠BAD=∠BCD=90°,
∴點(diǎn)A、B、C、D共圓,
∴∠BDC=∠BAC,
∵∠BDC=25°,
∴∠BAC=25°,
(3)如圖3,在正方形ABCD中,AB=AD=CD,∠BAD=∠CDA,∠ADG=∠CDG,
在△ABE和△DCF中,
,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴∠1=∠2,
在△ADG和△CDG中,
,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°,
∴∠1+∠BAH=90°,
∴∠AHB=180°﹣90°=90°,
取AB的中點(diǎn)O,連接OH、OD,
則OH=AO=AB=1,
在Rt△AOD中,OD=,
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,OH+DH>OD,
∴當(dāng)O、D、H三點(diǎn)共線時,DH的長度最小,
最小值=OD﹣OH=﹣1.
故答案為:﹣1.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個不透明的口袋中裝有4張卡片,卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1、﹣2、3、﹣4,這些卡片除數(shù)字外都相同.王興從口袋中隨機(jī)抽取一張卡片,鐘華從剩余的三張卡片中隨機(jī)抽取一張,求兩張卡片上數(shù)字之積.
(1)請你用畫樹狀圖或列表的方法,列出兩人抽到的數(shù)字之積所有可能的結(jié)果.
(2)求兩人抽到的數(shù)字之積為正數(shù)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y=(x+1)(x﹣3)與x軸相交于A、B兩點(diǎn),若在拋物線上有且只有三個不同的點(diǎn)C1、C2、C3,使得△ABC1、△ABC2、△ABC3的面積都等于m,則m的值是( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 16
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在同一平面內(nèi),兩條平行的高速公路AB和CD之間有一條“L”型道路連通,“L”型道路中的EP=FP=20千米,∠BEP=12°,∠EPF=80°,求AB和CD之間的距離.(參考數(shù)據(jù):sin12°=cos78°≈0.21,sin68°=cos22°≈0.93,tan68°≈2.48)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,PA切⊙O于點(diǎn)A,PC過點(diǎn)O且與⊙O交于B,C兩點(diǎn),若PA=6cm,PB=2cm,則△PAC的面積是_____cm2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料,完成(1)-(3)題.
數(shù)學(xué)課上,老師出示了這樣一道題:
如圖1,在△ABC中,BA=BC,.點(diǎn)F在AC上,點(diǎn)E在BF上,.點(diǎn)D在BC 延長線上,連接AD、AE,∠ACD+∠DAE=180゜.探究線段AD與AE的數(shù)量關(guān)系并證明.
同學(xué)們經(jīng)過思考后,交流了自已的想法:
小明:“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)∠CAD與∠EAB相等.”
小亮:“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)∠FAE與∠D也相等.”
小偉:“通過邊角關(guān)系構(gòu)造輔助線,經(jīng)過進(jìn)一步推理,可以得到線段AD與AE的數(shù)量關(guān)系.”
老師:“保留原題條件,延長圖1中的AE,與BC相交于點(diǎn)H(如圖2),若知道DH與AH的數(shù)量關(guān)系,可以求出的值.”
(1)求證:∠CAD=∠EAB;
(2)求的值(用含k的式子表示);
(3)如圖2,若,則的值為________(用含k的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某區(qū)2014年八年級學(xué)生的體育測試情況,隨機(jī)抽取了該區(qū)若干名八年級學(xué)生的測試成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析,并根據(jù)抽取的成績等級繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表:
成績等級 | A | B | C | D |
人數(shù) | 60 | 10 |
請根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖表提供的信息,解答下列問題:
(1)本次抽查的學(xué)生有______ 名,成績?yōu)?/span>B類的學(xué)生人數(shù)為______ 名,C類成績所在扇形的圓心角度數(shù)為______
(2)請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果,請估計(jì)該區(qū)約5000名八年級學(xué)生體育測試成績?yōu)?/span>D類的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示拋物線過點(diǎn),點(diǎn),且
(1)求拋物線的解析式及其對稱軸;
(2)點(diǎn)在直線上的兩個動點(diǎn),且,點(diǎn)在點(diǎn)的上方,求四邊形的周長的最小值;
(3)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),連接,直線把四邊形的面積分為3∶5兩部分,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在每個小正方形的邊長為的網(wǎng)格中,點(diǎn)均在格點(diǎn)上,為小正方形邊中點(diǎn).
(1)的長等于 ______;
(2)請?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出一個點(diǎn),使其滿足說明點(diǎn)的位置是如何找到的(不要求證明)______.
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