【題目】閱讀下面材料,完成(1)-(3)題.

數(shù)學(xué)課上,老師出示了這樣一道題:

如圖1,在△ABC中,BA=BC.點(diǎn)FAC上,點(diǎn)EBF上,.點(diǎn)DBC 延長線上,連接ADAE,∠ACD+DAE=180゜.探究線段ADAE的數(shù)量關(guān)系并證明.

同學(xué)們經(jīng)過思考后,交流了自已的想法:

小明:“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)∠CAD與∠EAB相等.”

小亮:“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)∠FAE與∠D也相等.”

小偉:“通過邊角關(guān)系構(gòu)造輔助線,經(jīng)過進(jìn)一步推理,可以得到線段ADAE的數(shù)量關(guān)系.”

老師:“保留原題條件,延長圖1中的AE,與BC相交于點(diǎn)H(如圖2),若知道DHAH的數(shù)量關(guān)系,可以求出的值.”

1)求證:∠CAD=EAB

2)求的值(用含k的式子表示);

3)如圖2,若,則的值為________(用含k的式子表示).

【答案】1)見解析;(2;(3

【解析】

1)根據(jù)BA=BC得出∠BAC=BCA,再根據(jù)三角形外角和的知識(shí)與∠ACD+∠DAE=180゜,∠ACD+∠ACB=180゜得出∠DAC=BAE

2)方法一:過點(diǎn)C做∠ACM=ABE,交AD于點(diǎn)M,證明出△AEB∽△AMC,根據(jù)相似比得出,,再根據(jù)條件求證△DCM∽△AFE,根據(jù)相似比得到,AD=AM+DM=進(jìn)而得出結(jié)果;

方法二:過點(diǎn)BBNACAE延長線于點(diǎn)N,證明△AFE∽△NBE,△ACD∽△ABN,根據(jù)相似比求解即可;

3)過點(diǎn)BBNACAE延長線于點(diǎn)N,求證△AHCDHA,利用相似比得到,再由,,得出,設(shè)AH=2a,AB=BC=b,

根據(jù)EH=AH-AE=EN-NH和相似得出;再由△ADH∽△NBH,根據(jù)以上所求得出,求解b即可.

(1)BA=BC,

∴∠BAC=BCA,

∵∠ACD+DAE=180゜,

ACD+ACB=180゜,

∴∠DAE=ACB,

∴∠DAE=BAC,

∴∠DAC=BAE;

(2)方法一:

過點(diǎn)C做∠ACM=ABE,交AD于點(diǎn)M

∵∠DAC=BAE,

∴△AEB∽△AMC,

,

,

,

,

∵∠AEF=EAB+ABE

DMC=MAC+ACM,

∴∠DMC=AEF,

∵∠ACB=D+DAC

DAE=DAC+FAE,

DAE=ACB

∴∠D=FAE,

∴△DCM∽△AFE,

,

AD=AM+DM=,

;

方法二:

過點(diǎn)BBNACAE延長線于點(diǎn)N

∴∠N=FAE,

AFE=EBN,

∴△AFE∽△NBE,

,

,

∵∠ACB=D+DAC

DAE=DAC+FAE,

DAE=ACB,

∴∠D=FAE,

∵∠DAC=BAE,

∴△ACD∽△ABN,

,

,

;

3)同方法二輔助線

∵∠D=CAH,∠AHC=DHA,

∴△AHCDHA,

,

,

,

,

,

,

;

設(shè)AH=2a,AB=BC=b,

DH=3a, ,

NE=2AE,

NE=b,

EH=AH-AE=EN-NH

,

,

,

,

∴由方法二相似得:

∵△ADH∽△NBH,

,

,

(舍),

;

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

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求該商品的標(biāo)價(jià)為多少元;

已知該商品的進(jìn)價(jià)為每件12元,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)査:若按中標(biāo)價(jià)銷售,該商場(chǎng)每天銷售100件;每漲1元,每天要少賣5那么漲價(jià)后要使該商品每天的銷售利潤最大,應(yīng)將銷售價(jià)格定為每件多少元?最大利潤是多少?

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A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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【題目】1)(學(xué)習(xí)心得)

于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后,感覺到一些幾何問題如果添加輔助圓,運(yùn)用圓的知識(shí)解決,可以使問題變得非常容易.

例如:如圖1,在△ABC中,ABAC,∠BAC90°,D是△ABC外一點(diǎn),且ADAC,求∠BDC的度數(shù).若以點(diǎn)A為圓心,AB為半徑作輔助⊙A,則點(diǎn)CD必在⊙A上,∠BAC⊙A的圓心角,而∠BDC是圓周角,從而可容易得到∠BDC   °.

2)(問題解決)

如圖2,在四邊形ABCD中,∠BAD=∠BCD90°,∠BDC25°,求∠BAC的度數(shù).

3)(問題拓展)

如圖3,如圖,E,F是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AEDF.連接CFBD于點(diǎn)G,連接BEAG于點(diǎn)H.若正方形的邊長為2,則線段DH長度的最小值是   

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(1)求點(diǎn)到直線的距離(結(jié)果保留根號(hào));

(2)若小明在處又測(cè)得宣傳牌頂部的仰角為,求宣傳牌的高度(結(jié)果精確到0.1米,,)

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1)請(qǐng)直接寫出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo):A , B ;

2)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
3)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M使|MC-MB|的值最大,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為____

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(Ⅰ)求點(diǎn)A,B,D,P的坐標(biāo);

(Ⅱ)若將拋物線C沿著直線PD的方向平移得到拋物線C′;

當(dāng)拋物線C′與直線y2x5只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),求拋物線C′的解析式;

點(diǎn)Mxm,ym)是中拋物線C′上一點(diǎn),若﹣6xm2ym為整數(shù),求滿足條件的點(diǎn)M的個(gè)數(shù).

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