Question

【題目】如圖，點(diǎn)A為平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)一點(diǎn)，直線y=x過點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)B是y軸正半軸上一動點(diǎn),連接AB，過點(diǎn)A作AC⊥AB交x軸于點(diǎn)C.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)B在線段OD上時(shí)，求證：AB=AC；

(2)①如圖，當(dāng)點(diǎn)B在OD延長線上，且點(diǎn)C在x軸正半軸上， OA、OB、OC之間的數(shù)量關(guān)系為________(不用說明理由)；

②當(dāng)點(diǎn)B在OD延長線上，且點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，寫出OA、OB、OC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明原因.

(3)直線BC分別與直線AD、直線y=x交于點(diǎn)E、F，若BE=5，CF=12，直接寫出AB的長.

Answer 1

【答案】（１）證明見解析；(2)①OA=（OC+OB）；②OA=（OB-OC）；(3)10； 15．

【解析】

（1）過點(diǎn)A作AE⊥OC于點(diǎn)E,先證明四邊形ADOE是正方形，再證明Rt△ADB≌Rt△AEC（AAS），從而求得結(jié)論；(2)①過點(diǎn)A作AE⊥OC于點(diǎn)E,方法同（1）證明四邊形ADOE是正方形，Rt△ADB≌Rt△AEC，△AOD是等腰直角三角形，再應(yīng)用勾股定理即可得結(jié)論OA=（OC+OB）；②方法同①得結(jié)論：OA=（OB-OC）；（3）①當(dāng)點(diǎn)B在線段OD上時(shí)，將△AFC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，AC與AB重合，變?yōu)?/span>△ABF′，連接EF′，證明∠EBF′=90°,由勾股定理得EF′=13，再證明△AEF≌△AEF′，所以EF= EF′=13，BF=EF-EB=13-5=8，BC=BF+FC=8+12=20，而△ABC是等腰直角三角形，所以AB==10; ②當(dāng)點(diǎn)B在OD延長線上，且點(diǎn)C在x軸正半軸上時(shí)，方法同①，解得：AB=15;③當(dāng)點(diǎn)B在OD延長線上，且點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上時(shí)，方法同上,解得:AB=3 .

（1）過點(diǎn)A作AE⊥OC于點(diǎn)E,

∵AD⊥y，點(diǎn)A在y=x上，∠DOE=90°

∴四邊形ADOE是矩形，AE=OE，

∴矩形ADOE是正方形，

∴AD=AE,∠DAE=∠BAC=90°,

∴∠DAB=∠EAC，

又∵∠BDA=∠CEA=90°

∴Rt△ADB≌Rt△AEC

∴AB=AC.

(2)① 過點(diǎn)A作AE⊥OC于點(diǎn)E,

方法同（1）得，四邊形ADOE是正方形，Rt△ADB≌Rt△AEC，AB=AC，BD=CE，

∴OC+OB=OC+OD+BD=OC+OD+CE=OE+OD=2OD，即OD=（OC+OB）

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴由勾股定理得：OA=OD =×（OC+OB）=（OC+OB），

即OA=（OC+OB），

②過點(diǎn)A作AE⊥OC于點(diǎn)E,

方法同（1）得，四邊形ADOE是正方形，Rt△ADB≌Rt△AEC，AB=AC，BD=CE，

∴OB-OD=OC+OE，即OB-OC=OD+OE=2OD=OA，

又∵△AOD是等腰直角三角形，

∴由勾股定理得：OA=OD，OD= OA ，

∴OB-OC= OD+OE=2OD=OA，即OB-OC=OA，OA=（OB-OC）

（3）①當(dāng)點(diǎn)B在線段OD上時(shí)，

將△AFC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，AC與AB重合，變?yōu)?/span>△ABF′，連接EF′，BF′=CF=12，∠ACB=∠ABC=∠ABF′=45°，∠CBF′=∠ABC+∠ABF′=90°，所以∠EBF′=90°,

又∵BE=5，∴EF′=13，

∵∠F′AO=90°， ∠FAE=∠F′AE=45°，AE=AE，AF=AF′，

∴△AEF≌△AEF′

∴EF= EF′=13，BF=EF-EB=13-5=8，BC=BF+FC=8+12=20，

由（1）得：△ABC是等腰直角三角形，∴AB==10;

②當(dāng)點(diǎn)B在OD延長線上，且點(diǎn)C在x軸正半軸上時(shí)，

方法同①，旋轉(zhuǎn)△AFC到△AF′B，證出∠EBF′，EF′=13=EF，BC=BE+EF+FC=5+13+12=30，所以等腰直角三角形ABC的直角邊AB=15;

③當(dāng)點(diǎn)B在OD延長線上，且點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，

已證△ABC是等腰直角三角形，

過點(diǎn)B作BF′⊥BC于點(diǎn)B，截取 BF′=CF=12， 連接F′E、F′A，∵BE=5，

∴∠ABF′=∠ACF=135°,EF′=13

AB=AC，

∴△ABF′≌△ACF，可得AF′=AF，∠BAF′=∠CAF，

∴∠BAC=∠F′AF=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠EAF=45°=∠EAF′，又AE=AE

∴△EAF≌△EAF′，

∴EF=EF′=13，EC=EF-CF=13-12=1，BC=BE+EC=1+5=6，

∴在等腰直角三角形ABC中，直角邊AB=3.