Question

【題目】已知中，，，，以三邊分別向外作三個正方形，連接各點，得到六邊形DEFGHI，則六邊形DEFGHI的面積為________．

Answer 1

【答案】74

【解析】

根據勾股定理計算出AC=4，再利用四邊形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形，根據正方形的性質得到∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°，BD=BA，AM=AC，CBN=CG，可計算出S正方形ABDE=52=25，S正方形ACHM=42=16，S正方形BCGF=32=9，利用周角的定義可計算出∠DBF+∠ABC=180°，∠MAE+∠BAC=180°，∠ACB+∠HCG=180°，根據全等三角形的性質和等量代換可得S△DBF=S△ABC，S△MAE=S△ABC，S△HCG=S△ABC，然后把六邊形DEMHGF內的各部分的面積相加即可．

解：如圖，

在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，
∴

∵四邊形ABDE、BCGF、ACHM都是正方形，
∴∠ABD=∠CBF=∠BAE=∠CAM=∠ACH=∠GCH=90°，BD=BA，AM=AC，CBN=CG，S正方形ABDE=42=16，S正方形ACHM=52=25，S正方形BCGF=32=9，
∴∠DBF+∠ABC=180°，∠MAE+∠BAC=180°，∠ACB+∠HCG=180°，
過I作IM⊥DA交DA的延長線于M，
∴∠M=∠ABC=90°，
∵∠DAI+∠MAI=∠DAI+∠BAC=180°，
∴∠IAM=∠BAC，
在△AMI與△BAC中，

∴△AMI≌△ABC，
∴AB=AM，
∴AD=AM，
∴S△AMI=S△ABC=S△ADI，
同理S△BEF=S△ABC，S△CHG=S△ABC，
∴，
∴六邊形DEMHGF的面積=25+16+9+4×6=74．
故答案為：74．