Question

【題目】如圖，已知正方形中，平分且交邊于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，并延長交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求出∠EDG=∠EBC=∠DBE，再結(jié)合公共角∠BGD＝∠DGE，根據(jù)相似三角形的判定定理即可證明；

（2）先根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可求得DG=2，再證明△BDG≌△BFG，可得DF=4，

由此根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得BE=4．

（1）證明： ∵BE平分∠DBC，

∴∠CBE＝∠DBG，

∵將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置，

∴∠CBE＝∠CDF，

∴∠DBG＝∠CDF，

∵∠BGD＝∠DGE，

∴△BDG∽△DEG．

（2）∵△BDG∽△DEG，

，

∴DG2＝BG·EG＝4，

∴DG＝2．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DCB=90°，

∴∠EBC＋∠BEC＝90°，

∵∠BEC＝∠DEG，∠EBC＝∠EDG，

∴∠BGD＝90°，

∵∠DBG＝∠FBG，BG＝BG

∴△BDG≌△BFG，

∴FG＝DG＝2，

∴DF＝4，

∵將△BCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△DCF的位置，

∴BE＝DF＝4．