【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點為C(1,4),交x軸于A、B兩點,交y軸于點D,其中點B的坐標為(3,0).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點P為直線BD上方拋物線上一點,若,請求出點P的坐標.
(3)如圖3,M為線段AB上的一點,過點M作MN∥BD,交線段AD于點N,連接MD,若△DNM∽△BMD,請求出點M的坐標.
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)點P的坐標為(1,4)或(2,3);(3)點M的坐標為(,0).
【解析】
(1)設拋物線的解析式為:y=a(x-1)2+4,然后將點B的坐標代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線的解析式;
(2)如圖2,過點P作PQ//y軸交DB于Q,求出直線BD的解析式,設P(m, -m2+2m+3),則Q(m,-m+3),得到S△PBD =-m2+m,又,解方程求出m的值,再求點P的坐標即可;
(3)設M(c,0),由△AMN∽△AMD,得到,得出MN=,DM=,再由△DNM∽△BMD,得到,即9+c2=×,求解即可的出答案.
(1)設所求拋物線的解析式為:y=a(x-1)2+4,
將點B(3,0)代入,得:(3-1)2a+4=0
解得:a=-1
∴解析式為:y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3
(2)如圖2,過點P作PQ//y軸交DB于Q,
∵拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,
∴點D的坐標為(0,3),
設直線BD的解析式為y=kx+b,
把D(0,3)和B(3,0)代入y=kx+b得,,
解得:
∴直線BD的解析式為y=-x+3,
設P(m, -m2+2m+3),則Q(m,-m+3).
∴PQ=-m2+2m+3(-m+3)= -m2+3m,
又∵S△PBD=S△PQD+S△PQB
=mPQ+ (3m)PQ=PQ×3=
∵,
∴-m2+m=3
解得:m1=1,m2=2,
∴點P的坐標為(1,4)或(2,3)
(3) ∵BD=,設M(c,0),
∵MN∥BD,
∴△AMN∽△AMD,
∴,即,
∴MN=,DM=,
∵△DNM∽△BMD,
∴,即DM2=BD·MN,
∴9+c2=×,
解得:c=或c=3(舍去),
∴點M的坐標為(,0).
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,△CDE是等邊三角形,點D在邊AB上.
(1)如圖1,當點E在邊BC上時,求證DE=EB;
(2)如圖2,當點E在△ABC內(nèi)部時,猜想ED和EB數(shù)量關系,并加以證明;
(3)如圖3,當點E在△ABC外部時,EH⊥AB于點H,過點E作GE∥AB,交線段AC的延長線于點G,AG=5CG,BH=3.求CG的長.
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【題目】某蔬菜市場為指導某種蔬菜的生產(chǎn)和銷售,對往年的市場行情和生產(chǎn)情況進行了調(diào)查,提供的信息如下:
信息1:售價和月份滿足一次函數(shù)關系,如下表所示.
月份 | … | 3 | 6 | … |
售價 | … | 5 | 3 | … |
信息2:成本和月份滿足二次函數(shù)關系,并且知道該種蔬菜在6月成本達到最低為1元/千克,9月成本為4元/千克.
根據(jù)以上信息回答下列問題:
(1)在7月,這種蔬菜的成本是多少元每千克?
(2)在過去的一年中,某商家平均每天賣出該種蔬菜,則哪個月的利潤最大,最大利潤為多少?(一個月按30天計算)
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【題目】在某飛機場東西方向的地面 l 上有一長為 1km 的飛機跑道 MN(如圖),在跑道 MN的正西端 14.5 千米處有一觀察站 A.某時刻測得一架勻速直線降落的飛機位于點 A 的北偏西30°,且與點 A 相距 15 千米的 B 處;經(jīng)過 1 分鐘,又測得該飛機位于點 A 的北偏東 60°,且與點 A 相距 5千米的 C 處.
(1)該飛機航行的速度是多少千米/小時?(結(jié)果保留根號)
(2)如果該飛機不改變航向繼續(xù)航行,那么飛機能否降落在跑道 MN 之間?請說明理由.
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【題目】如圖,中,點與點在的同側(cè),且.
(1)如圖1,點不與點重合,連結(jié)交于點.設求關于的函數(shù)解析式,寫出自變量的取值范圍;
(2)是否存在點,使與相似,若存在,求的長;若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,過點作垂足為.將以點為圓心,為半徑的圓記為.若點到上點的距離的最小值為,求的半徑.
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【題目】已知:如圖,在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,△ABC的頂點A、B、C均在格點上,點D為AC邊上的一點.
(1)線段AC的長為 .
(2)在如圖所示的網(wǎng)格中,AM是△ABC的角平分線,在AM上求一點P,使CP+DP的值最小,請用無刻度的直尺,畫出AM和點P,并簡要說明AM和點P的位置.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列說法不正確的是( 。
A. 所有矩形都是相似的
B. 若線段a=5cm,b=2cm,則a:b=5:2
C. 若線段AB=cm,C是線段AB的黃金分割點,且AC>BC,則AC= cm
D. 四條長度依次為lcm,2cm,2cm,4cm的線段是成比例線段
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