Question

【題目】如圖1，以邊長為8的正方形紙片ABCD的邊AB為直徑作⊙O，交對角線AC于點E．
（1）線段AE=；
（2）如圖2，以點A為端點作∠DAM=30°，交CD于點M，沿AM將四邊形ABCM剪掉，使Rt△ADM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)（如圖3），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜150°），旋轉(zhuǎn)過程中AD與⊙O交于點F．
①當(dāng)α=30°時，請求出線段AF的長；
②當(dāng)α=60°時，求出線段AF的長；判斷此時DM與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
③當(dāng)α= 時，DM與⊙O相切．

Answer 1

【答案】
（1）4
（2）解：①連接OA、OF，

由題意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，

故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，

則∠OAF=60°，

又∵OA=OF，

∴△OAF是等邊三角形，

∵OA=4，

∴AF=OA=4；

②連接B'F，此時∠NAD=60°，

∵AB'=8，∠DAM=30°，

∴AF=AB'cos∠DAM=8× =4 ；

此時DM與⊙O的位置關(guān)系是相離

③

∵AD=8，直徑的長度相等，

∴當(dāng)DM與⊙O相切時，點D在⊙O上，

故此時可得α=∠NAD=90°．

【解析】解：（1）連接BE，
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠BAC=45°，
∴△AEB是等腰直角三角形，
又∵AB=8，
∴AE=4 ；