Question

【題目】在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系及△AMN的周長x與等邊△ABC的周長y的關系．

（1）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是　 　； 此時=　 ；

（2）如圖2，點M、N在邊AB、AC上，且當DM≠DN時，猜想（ I）問的兩個結論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結論；若不成立請說明理由．

（3）如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關系如何？并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）BM+NC=MN；；（2）成立：BM+NC=MN；（3）BM+MN=NC.證明見解析.

【解析】

（1）由DM=DN，∠MDN=60°，可證得△MDN是等邊三角形，又由△ABC是等邊三角形，CD=BD，易證得Rt△BDM≌Rt△CDN，然后由直角三角形的性質，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關系 BM+NC=MN，此時；
（2）在CN的延長線上截取CM1=BM，連接DM1．可證△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，易證得∠CDN=∠MDN=60°，則可證得△MDN≌△M1DN，然后由全等三角形的性質，即可得結論仍然成立；
（3）首先在CN上截取CM1=BM，連接DM1，可證△DBM≌△DCM1，即可得DM=DM1，然后證得∠CDN=∠MDN=60°，易證得△MDN≌△M1DN，則可得NC-BM=MN．

解：（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系BM+NC=MN．
此時.

理由：∵DM=DN，∠MDN=60°，
∴△MDN是等邊三角形，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠MBD=∠NCD=90°，
∵DM=DN，BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDN，
∴∠BDM=∠CDN=30°，BM=CN，
∴DM=2BM，DN=2CN，
∴MN=2BM=2CN=BM+CN；
∴AM=AN，
∴△AMN是等邊三角形，
∵AB=AM+BM，
∴AM：AB=2：3，

∴；

（2）猜想：結論仍然成立．
證明：在NC的延長線上截取CM1=BM，連接DM1．
∵∠MBD=∠M1CD=90°，BD=CD，
∴△DBM≌△DCM1，
∴DM=DM1，∠MBD=∠M1CD，M1C=BM，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠M1DN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN=M1N=M1C+NC=BM+NC，
∴△AMN的周長為：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC，

∴；

（3）證明：在CN上截取CM1=BM，連接DM1．
可證△DBM≌△DCM1，
∴DM=DM1，
可證∠M1DN=∠MDN=60°，
∴△MDN≌△M1DN，
∴MN=M1N，
∴NC-BM=MN．