Question

【題目】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=．點O為BC邊上的動點，以O為圓心，BO為半徑的⊙O交邊AB于點P．

（1）設OB=x，BP=y，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)定義域；

（2）當⊙O與以點D為圓心，DC為半徑⊙D外切時，求⊙O的半徑；

（3）連接OD、AC，交于點E，當△CEO為等腰三角形時，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）y=x（0＜x≤）；（2）1.8；（3）當△CEO為等腰三角形時，⊙O的半徑為3或4．

【解析】

（1）首先作OM⊥BD，即可滿足垂徑定理，在直角△OBM中求得BM的長，即可求得BP；

（2）連接OD．作AN⊥BC，根據(jù)三角函數(shù)即可求得CD的長，根據(jù)兩圓相外切時，圓心距等于半徑的和即可得到一個關于半徑長的一個方程，即可求得半徑長；

（3）當△CEO為等腰三角形時，利用當EO=EC時，當CE=CO時，分別求得圓的半徑．

（1）作OM⊥BP，

則BP=2BM．

在直角△BMO中，

cosB==．

∴BM=OBcosB=．

則BP=2BM=．

∴函數(shù)的解析式是：y=x（0＜x≤）；

（2）連接OD．作AN⊥BC．

∵在直角△ABN中，cosB==．

∴BN=ABcosB=5×=3．

則AN=CD=4．

在直角△OCD中，OC=BC﹣OB=6﹣x，CD=4．

則OD=．

當兩圓相切時： =x+4

解得：x=1.8；

（3）在Rt△ACD中，AC=5，設⊙O的半徑為x，

當EO=EC時，∠EOC=∠ACB，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠EOC，

∴AB∥OD，

又∵AD∥BC，

∴OB=AD=3，

∴⊙O的半徑為3，

當OE=OC時，∠ECO=∠CEO，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠ECO，

∵∠AED=∠CEO，∴∠DAE=∠AED，

∴AD=DE=3，

∴OD=OE+DE=6﹣x+3=9﹣x，

在Rt△OCD中，

∵CD2+OC2=OD2，

∴42+（6﹣x）2=（9﹣x）2，

解得：x=（不合題意舍去）

當CE=CO時，∠CEO=∠COE，

∵AD∥BC，

∴∠ADE=∠COE，

∵∠AED=∠CEO，

∴∠AED=∠ADE，

∴AD=AE=3，

∵CE+AE=AC，

∴6﹣x+3=5，

∴x=4，

∴⊙O的半徑為4．

綜上所述，當△CEO為等腰三角形時，⊙O的半徑為3或4．