【題目】若四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,則這條對角線叫做這個四邊形的巧分線,這個四邊形叫巧妙四邊形,若一個四邊形有兩條巧分線,則稱為絕妙四邊形.

1)下列四邊形一定是巧妙四邊形的是  .(填序號)

①平行四邊形;②矩形;③菱形;④正方形.

(初步應用)

2)如圖,在絕妙四邊形ABCD中,ACAD,且AC垂直平分BD,若∠BAD80°,求∠BCD的度數(shù).

(深入研究)

3)在巧妙四邊形ABCD中,ABADCD,∠A90°AC是四邊形ABCD的巧分線,請直接寫出∠BCD的度數(shù).

【答案】1)③④;(2)∠BCD140°;(3)∠BCD的度數(shù)是45°或135°或90°.

【解析】

1)根據(jù)題意,巧妙四邊形需是鄰邊相等是四邊形,由平行四邊形,矩形,菱形,正方形的性質(zhì)可求解;

2)由線段垂直平分線的性質(zhì)可得ABAD,BCCD,ACBD,由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,即可求∠BCD的度數(shù);

3)分三種情況討論,由等腰三角形的性質(zhì)和“絕妙四邊形的定義可求解.

1)∵菱形的四條邊相等,

∴連接對角線能得到兩個等腰三角形,

∴菱形是巧妙四邊形;

正方形是特殊的菱形,所以正方形也是巧妙四邊形;

故答案是:③④;

【初步應用】

2)∵AC垂直平分BD,

ABADBCCD,ACBD

∴∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA

∵∠BAD80°,

∴∠BAC=∠DAC40

ACAD,

∴∠ACD70°=∠BCA,

∴∠BCD140°,

【深入研究】

3)∵AC是四邊形ABCD的巧分線,

∴△ACD和△ABC是等腰三角形,

①當ACBC時,如圖,過CCHABH,過CCGAD,交AD的延長線于G

∵∠HAD=∠AHC=∠G90°

∴四邊形AHCG是矩形,

AHCGABCD

∴∠CDG30°,

∴∠ADC150°

∴∠DAC=∠DCA15°

∵∠DAB90°,

∴∠CAB=∠B75°,且∠ACB30°

∴∠BCD30°+15°=45°;

②當ACAB時,如圖

ACABADCD

∴△ACD是等邊三角形,

CAD=∠ACD60°

∴∠BAD90°,

∴∠BAC30°,

ABAC

∴∠ACB75°,

∴∠BCD75°+60°=135°;

③當ABBC時,如圖

ABADCDBC

∴四邊形ABCD是菱形,且∠BAD90°,

∴四邊形ABCD是正方形

∴∠BCD90°

綜上所述:∠BCD的度數(shù)是45°或135°或90°.

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(1)此次抽查的學生數(shù)為   人,并補全條形統(tǒng)計圖;

(2)從抽查的學生中隨機詢問一名學生,該生當天在校體育活動時間低于1小時的概率是    ;

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組別

捐款額x/

人數(shù)

A

1≤x10

B

10≤x20

100

C

20≤x30

D

30≤x40

E

x≥40

1a= ,本次抽樣調(diào)查樣本的容量是

2)補全捐款人數(shù)分組統(tǒng)計圖1”;

3)若記A組捐款的平均數(shù)為5元,B組捐款的平均數(shù)為15元,C組捐款的平均數(shù)為25元,D組捐款的平均數(shù)為35元,E組捐款的平均數(shù)為50元,全校共有2000名學生參加此次活動,請你估計此次活動可以籌得善款的金額大約為多少元.

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