【題目】若四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形,則這條對角線叫做這個四邊形的“巧分線”,這個四邊形叫“巧妙四邊形”,若一個四邊形有兩條巧分線,則稱為“絕妙四邊形.
(1)下列四邊形一定是巧妙四邊形的是 .(填序號)
①平行四邊形;②矩形;③菱形;④正方形.
(初步應用)
(2)如圖,在絕妙四邊形ABCD中,AC=AD,且AC垂直平分BD,若∠BAD=80°,求∠BCD的度數(shù).
(深入研究)
(3)在巧妙四邊形ABCD中,AB=AD=CD,∠A=90°,AC是四邊形ABCD的巧分線,請直接寫出∠BCD的度數(shù).
【答案】(1)③④;(2)∠BCD=140°;(3)∠BCD的度數(shù)是45°或135°或90°.
【解析】
(1)根據(jù)題意,“巧妙四邊形”需是鄰邊相等是四邊形,由平行四邊形,矩形,菱形,正方形的性質(zhì)可求解;
(2)由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AB=AD,BC=CD,AC⊥BD,由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,即可求∠BCD的度數(shù);
(3)分三種情況討論,由等腰三角形的性質(zhì)和“絕妙四邊形的定義可求解.
(1)∵菱形的四條邊相等,
∴連接對角線能得到兩個等腰三角形,
∴菱形是巧妙四邊形;
正方形是特殊的菱形,所以正方形也是巧妙四邊形;
故答案是:③④;
【初步應用】
(2)∵AC垂直平分BD,
∴AB=AD,BC=CD,AC⊥BD,
∴∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA,
∵∠BAD=80°,
∴∠BAC=∠DAC=40,
∵AC=AD,
∴∠ACD=70°=∠BCA,
∴∠BCD=140°,
【深入研究】
(3)∵AC是四邊形ABCD的巧分線,
∴△ACD和△ABC是等腰三角形,
①當AC=BC時,如圖,過C作CH⊥AB于H,過C作CG⊥AD,交AD的延長線于G,
∵∠HAD=∠AHC=∠G=90°
∴四邊形AHCG是矩形,
AH=CG=AB=CD
∴∠CDG=30°,
∴∠ADC=150°
∴∠DAC=∠DCA=15°
∵∠DAB=90°,
∴∠CAB=∠B=75°,且∠ACB=30°
∴∠BCD=30°+15°=45°;
②當AC=AB時,如圖
∵AC=AB=AD=CD
∴△ACD是等邊三角形,
∠CAD=∠ACD=60°
∴∠BAD=90°,
∴∠BAC=30°,
∵AB=AC
∴∠ACB=75°,
∴∠BCD=75°+60°=135°;
③當AB=BC時,如圖
∵AB=AD=CD=BC
∴四邊形ABCD是菱形,且∠BAD=90°,
∴四邊形ABCD是正方形
∴∠BCD=90°
綜上所述:∠BCD的度數(shù)是45°或135°或90°.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】國家規(guī)定,中小學生每天在校體育活動時間不低于1小時,為了解這項政策的落實情況,有關部門就“你某天在校體育活動時間是多少”的問題,在某校隨機抽查了部分學生,再根據(jù)活動時間t(小時)進行分組(A組:t<0.5,B組:0.5≤t<1,C組:1≤t<1.5,D組:t≥1.5),繪制成如下兩幅不完整統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中信息回答問題:
(1)此次抽查的學生數(shù)為 人,并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)從抽查的學生中隨機詢問一名學生,該生當天在校體育活動時間低于1小時的概率是 ;
(3)若當天在校學生數(shù)為1200人,請估計在當天達到國家規(guī)定體育活動時間的學生有 人.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一輛摩拜單車放在水平的地面上,車把頭下方A處與坐墊下方B處在平行于地面的水平線上,A、B之間的距離約為49cm,現(xiàn)測得AC、BC與AB的夾角分別為45°與68°,若點C到地面的距離CD為28cm,坐墊中軸E處與點B的距離BE為4cm,求點E到地面的距離(結(jié)果保留一位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin68°≈0.93,cos68°≈0.37,cot68°≈0.40)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我校“點愛”社團倡導全校學生參加“關注特殊兒童”自愿捐款活動,并對此次活動進行抽樣調(diào)查,得到一組學生捐款情況的數(shù)據(jù),將數(shù)據(jù)整理成如圖所示的統(tǒng)計圖(圖中信息不完整).已知A、B兩組捐款人數(shù)的比為1:5.請結(jié)合以上信息解答下列問題.
組別 | 捐款額x/元 | 人數(shù) |
A | 1≤x<10 | |
B | 10≤x<20 | 100 |
C | 20≤x<30 | |
D | 30≤x<40 | |
E | x≥40 |
(1)a= ,本次抽樣調(diào)查樣本的容量是 ;
(2)補全“捐款人數(shù)分組統(tǒng)計圖1”;
(3)若記A組捐款的平均數(shù)為5元,B組捐款的平均數(shù)為15元,C組捐款的平均數(shù)為25元,D組捐款的平均數(shù)為35元,E組捐款的平均數(shù)為50元,全校共有2000名學生參加此次活動,請你估計此次活動可以籌得善款的金額大約為多少元.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,OABC的對角線OB在y軸正半軸上,點A,C分別在函數(shù)y=(x>0),y=(x<0)的圖象上,分別過點A,C作AD⊥x軸于點D,CE⊥x軸于點E,若|k1|:|k2|=9:4,則AD:CE的值為( )
A.2:3B.3:2C.4:9D.9:4
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【題目】如圖,已知在中,,點是的中點,連結(jié)并延長,與的延長線相交于點,連接,若,,則四邊形的面積是( )
A. B. C. 10D.
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【題目】已知矩形ABCD,AB=10,AD=8,G為邊DC上任意一點,連結(jié)AG,BG,以AG為直徑作⊙P分別交BG,AB于點E,H,連結(jié)AE,DE.
(1)若點E為弧GH的中點,證明:AG=AB.
(2)若△ADE為等腰三角形時,求DG的長.
(3)作點C關于直線BG的對稱點C′.
①當點C落在線段AG上時,設線段AG,DE交于點F,求△ADF與△AEF的面積之比;
②在點G的運動過程中,當點C′落在四邊形ADGE內(nèi)時(不包括邊界),則DG的范圍是 (直接寫出答案)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,山坡上有一棵樹AB,樹底部B點到山腳C點的距離BC為米,山坡的坡角為30°.小寧在山腳的平地F處測量這棵樹的高,點C到測角儀EF的水平距離CF=1米,從E處測得樹頂部A的仰角為45°,樹底部B的仰角為20°,求樹AB的高度.(參考數(shù)值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線
(1)若求該拋物線與x軸的交點坐標;
(2)若,是否存在實數(shù),使得相應的y=1,若有,請指明有幾個并證明你的結(jié)論,若沒有,闡述理由。
(3)若且拋物線在區(qū)間上的最小值是-3,求b的值。
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