【題目】如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AB上的點(diǎn),且CE=BF.連接DE,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DE,使EG=DE,連接FG,F(xiàn)C.

(1)請(qǐng)判斷:FG與CE的數(shù)量關(guān)系是 , 位置關(guān)系是;
(2)如圖2,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊CB,BA延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)作出判斷并給予證明;
(3)如圖3,若點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn),其它條件不變,(1)中結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷.

【答案】
(1)FG=CE;FG∥CE
(2)

證明:過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

∵EG⊥DE,

∴∠GEH+∠DEC=90°,

∵∠GEH+∠HGE=90°,

∴∠DEC=∠HGE,

在△HGE與△CED中,

,

∴△HGE≌△CED(AAS),

∴GH=CE,HE=CD,

∵CE=BF,

∴GH=BF,

∵GH∥BF,

∴四邊形GHBF是矩形,

∴GF=BH,F(xiàn)G∥CH

∴FG∥CE

∵四邊形ABCD是正方形,

∴CD=BC,

∴HE=BC

∴HE+EB=BC+EB

∴BH=EC

∴FG=EC


(3)

證明:

∵四邊形ABCD是正方形,

∴BC=CD,∠FBC=∠ECD=90°,

在△CBF與△DCE中,

,

∴△CBF≌△DCE(SAS),

∴∠BCF=∠CDE,CF=DE,

∵EG=DE,

∴CF=EG,

∵DE⊥EG

∴∠DEC+∠CEG=90°

∵∠CDE+∠DEC=90°

∴∠CDE=∠CEG,

∴∠BCF=∠CEG,

∴CF∥EG,

∴四邊形CEGF平行四邊形,

∴FG∥CE,F(xiàn)G=CE.


【解析】解:(1)FG=CE,F(xiàn)G∥CE;
(1)只要證明四邊形CDGF是平行四邊形即可得出FG=CE,F(xiàn)G∥CE;(2)構(gòu)造輔助線后證明△HGE≌△CED,利用對(duì)應(yīng)邊相等求證四邊形GHBF是矩形后,利用等量代換即可求出FG=C,F(xiàn)G∥CE;(3)證明△CBF≌△DCE后,即可證明四邊形CEGF是平行四邊形.本題三角形與四邊形綜合問(wèn)題,涉及全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行線段的等量代換,從而求證出平行四邊形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求該二次函數(shù)的解析式;
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(1)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B、C、F在同一條直線上,DM的延長(zhǎng)線交EG于點(diǎn)N,其余條件不變,試探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)寫(xiě)出猜想,并給予證明;
(2)

如圖3,當(dāng)點(diǎn)E、B、C在同一條直線上,DM的延長(zhǎng)線交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,其余條件不變,探究線段DM與FM有怎樣的關(guān)系?請(qǐng)直接寫(xiě)出猜想.

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(1)請(qǐng)判斷:AF與BE的數(shù)量關(guān)系是 , 位置關(guān)系是 .
(2)如圖2,若將條件“兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF”變?yōu)椤皟蓚(gè)等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)作出判斷并給予說(shuō)明
(3)若三角形ADE和DCF為一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)問(wèn)中的結(jié)論都能成立嗎?請(qǐng)直接寫(xiě)出你的判斷.

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(1)求購(gòu)買1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元;

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(1)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(0°<θ<90°)時(shí),如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí),如圖3,延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)H.
①求證:BD⊥CF;
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