【題目】如圖1,點P在正方形ABCD的對角線AC上,正方形的邊長是a,Rt△PEF的兩條直角邊PE、PF分別交BC、DC于點M、N.
(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖2,固定點P,使△PEF繞點P旋轉(zhuǎn),當(dāng)PM⊥BC時,四邊形PMCN是正方形.填空:①當(dāng)AP=2PC時,四邊形PMCN的邊長是;②當(dāng)AP=nPC時(n是正實數(shù)),四邊形PMCN的面積是 .
(2)猜想論證 如圖3,改變四邊形ABCD的形狀為矩形,AB=a,BC=b,點P在矩形ABCD的對角線AC上,Rt△PEF的兩條直角邊PE、PF分別交BC、DC于點M、N,固定點P,使△PEF繞點P旋轉(zhuǎn),則 = .
(3)拓展探究 如圖4,當(dāng)四邊形ABCD滿足條件:∠B+∠D=180°,∠EPF=∠BAD時,點P在AC上,PE、PF分別交BC,CD于M、N點,固定P點,使△PEF繞點P旋轉(zhuǎn),請?zhí)骄? 的值,并說明理由.
【答案】
(1) a;
(2)
(3)解:如圖4,過P作PG∥AB,交BC于G,作PH∥AD,交CD于H,則∠HPG=∠DAB
∵∠EPF=∠BAD
∴∠EPF=∠GPH,即∠EPH+∠HPN=∠EPH+∠GPM
∴∠HPN=∠GPM
∵∠B+∠D=180°
∴∠PGC+∠PHC=180°
又∵∠PHN+∠PHC=180°
∴∠PGC=∠PHN
∴△PGM∽△PHN
∴ = ①
由PG∥AB,PH∥AD可得, = =
即 = ②
∴由①②可得, =
【解析】解:(1)①如圖2,∵PM⊥BC,AB⊥BC
∴△PMC∽△ABC
∴ =
又∵AP=2PC
∴ = ,即 =
∴PM= a,即正方形PMCN的邊長是 a
②當(dāng)AP=nPC時(n是正實數(shù)), =
∴PM= a
∴四邊形PMCN的面積=( a)2=
2)如圖3,過P作PG⊥BC于G,作PH⊥CD于H,則∠PGM=∠PHN=90°,∠GPH=90°
∵Rt△PEF中,∠FPE=90°
∴∠GPM=∠HPN
∴△PGM∽△PHN
∴ =
由PG∥AB,PH∥AD可得,
∵AB=a,BC=b
∴ ,即 =
∴ =
(1)①先判定△PMC∽△ABC,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行求解;②先用①中的方法求得正方形PMCN的邊長,再計算其面積;(2)先過P作PG⊥BC于G,作PH⊥CD于H,判定△PGM∽△PHN,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理進行推導(dǎo)計算即可;(3)先過P作PG∥AB,作PH∥AD,并結(jié)合條件∠B+∠D=180°,判定△PGM∽△PHN,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理進行推導(dǎo)計算即可.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點D為⊙O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且∠CDA=∠CBD.
(1)判斷直線CD和⊙O的位置關(guān)系,并說明理由.
(2)過點B作⊙O的切線BE交直線CD于點E,若AC=2,⊙O的半徑是3,求BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明的手機沒電了,現(xiàn)有一個只含A,B,C,D四個同型號插座的插線板(如圖,假設(shè)每個插座都適合所有的充電插頭,且被選中的可能性相同),請計算:
(1)若小明隨機選擇一個插座插入,則插入A的概率為;
(2)現(xiàn)小明對手機和學(xué)習(xí)機兩種電器充電,請用列表或畫樹狀圖的方法表示出兩個插頭插入插座的所有可能情況,并計算兩個插頭插在相鄰插座的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABC中,BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB.計算:
(1)若∠A 60°,求∠BOC的度數(shù);
(2)若∠A 100°, 則∠BOC的度數(shù)是多少?
(3)若∠A 120°, 則∠BOC的度數(shù)又是多少?
(4)由(1)、(2)、(3),你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?請用一個等式將這個規(guī)律表示出來.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在正方形ABCD的邊AB、CD、DA上,連接CF.
(1)求證:∠HEA=∠CGF;
(2)當(dāng)AH=DG時,求證:菱形EFGH為正方形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,點D是AB的中點,連接CD,過點B作BG⊥CD,分別交CD,CA于點E,F(xiàn),與過點A且垂直于AB的直線相交于點G,連接DF,給出以下五個結(jié)論: ① ;②∠ADF=∠CDB;③點F是GE的中點;④AF= AB;⑤S△ABC=5S△BDF ,
其中正確結(jié)論的序號是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某活動小組為了估計裝有5個白球和若干個紅球(每個球除顏色外都相同)的袋中紅球接近多少個,在不將袋中球倒出來的情況下,分小組進行摸球試驗,兩人一組,共20組進行摸球?qū)嶒灒渲幸晃粚W(xué)生摸球,另一位學(xué)生記錄所摸球的顏色,并將球放回袋中搖勻,每一組做400次試驗,匯總起來后,摸到紅球次數(shù)為6000次.
(1)估計從袋中任意摸出一個球,恰好是紅球的概率是多少?
(2)請你估計袋中紅球接近多少個?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在正方形ABCD中,P是對角線AC上的一點,點E在BC的延長線上,且PE=PB.
(1)求證:△BCP≌△DCP;
(2)求證:∠DPE=∠ABC;
(3)把正方形ABCD改為菱形,其它條件不變(如圖②),若∠ABC=58°,則∠DPE=度.
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