【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4),動點(diǎn)A以每秒1個單位長的速度,從點(diǎn)O出發(fā)沿x軸的正方向運(yùn)動,M是線段AC的中點(diǎn).將線段AM以點(diǎn)A為中心,沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AB.過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為E,過點(diǎn)C作y軸的垂線,交直線BE于點(diǎn)D.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒.
(1)求證:△COA∽△AEB;
(2)設(shè)△BCD的面積為S當(dāng)t為何值時(shí),S=;
(3)連接MB,當(dāng)MB∥OA時(shí),如果拋物線y=ax2﹣10ax的頂點(diǎn)在△ABM的內(nèi)部(不包括邊),求a的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)t=3或3+5時(shí);(3).
【解析】
(1)根據(jù)∠CAO=∠ABE,∠COA=∠AEB=90°,即可證明;
(2)求△BCD的面積時(shí),可以CD為底、BD為高來解,那么表示出BD的長是關(guān)鍵;Rt△CAO∽Rt△ABE,且知道AC、AB的比例關(guān)系,即可通過相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出BE的長,進(jìn)一步得到BD的長,在表達(dá)BD長時(shí),應(yīng)分兩種情況考慮:①B在線段DE上,②B在ED的延長線上;
(3)首先將拋物線的解析式進(jìn)行配方,可得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo),將其橫坐標(biāo)分別代入直線MB、AB的解析式中,可得到拋物線對稱軸與這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)這兩個坐標(biāo)即可判定出a的取值范圍.
(1)∵∠CAO+∠BAE=90°,∠ABE+∠BAE=90°,
∴∠CAO=∠ABE,
∵∠COA=∠AEB=90°,
∴△CAO∽△ABE;
(2)由Rt△CAO∽Rt△ABE可知:BE=,AE=2.
當(dāng)0<t<8時(shí),S=CDBD=(2+t)(4﹣)=,
∴t1=t2=3,
當(dāng)t>8時(shí),S=CDBD=(2+t)(﹣4)=,
∴t1=3+5,t2=3﹣5(為負(fù)數(shù),舍去),
當(dāng)t=3或3+5時(shí),S=;
(3)過M作MN⊥x軸于N,則MN=CO=2.
當(dāng)MB∥OA時(shí),BE=span>MN=2,OA=2BE=4,
拋物線y=ax2﹣10ax的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(5,﹣25a),
它的頂點(diǎn)在直線x=5上移動,
直線x=5交MB于點(diǎn)(5,2),交AB于點(diǎn)(5,1),
∴1<﹣25a<2,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B.點(diǎn)P是x軸上一個動點(diǎn),過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線分別交拋物線和直線AB于點(diǎn)E和點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 .
(2)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.
(3)點(diǎn)P在線段OA上時(shí),若以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△FPA相似,求m的值.
(4)若E、F、P三個點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外),稱E、F、P三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”.直接寫出E、F、P三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,BC=8,點(diǎn)F是AB邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)△BCF的外接圓交對角線BD于點(diǎn)E,連結(jié)CF交BD于點(diǎn)G.
(1)求證:∠ECG=∠BDC.
(2)當(dāng)AB=6時(shí),在點(diǎn)F的整個運(yùn)動過程中.
①若BF=2時(shí),求CE的長.
②當(dāng)△CEG為等腰三角形時(shí),求所有滿足條件的BE的長.
(3)過點(diǎn)E作△BCF外接圓的切線交AD于點(diǎn)P.若PE∥CF且CF=6PE,記△DEP的面積為S1,△CDE的面積為S2,請直接寫出的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】觀察下列幾組勾股數(shù):3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 9,40,41…按此規(guī)律,當(dāng)直角三角形的最小直角邊長是11時(shí),則較長直角邊長是________;當(dāng)直角三角形的最小直角邊長是時(shí),則較長直角邊長是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】近些年全國各地頻發(fā)霧霾天氣,給人民群眾的身體健康帶來了危害,某商場看到商機(jī)后決定購進(jìn)甲、乙兩種空氣凈化器進(jìn)行銷售.若每臺甲種空氣凈化器的進(jìn)價(jià)比每臺乙種空氣凈化器的進(jìn)價(jià)少300元,且用6000元購進(jìn)甲種空氣凈化器的數(shù)量與用7500元購進(jìn)乙種空氣凈化器的數(shù)量相同.
(1)求每臺甲種空氣凈化器、每臺乙種空氣凈化器的進(jìn)價(jià)分別為多少元?
(2)若該商場準(zhǔn)備進(jìn)貨甲、乙兩種空氣凈化器共30臺,且進(jìn)貨花費(fèi)不超過42000元,問最少進(jìn)貨甲種空氣凈化器多少臺?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A(m,2),B(﹣3,n)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對稱,反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)A.
(1)求反比例函數(shù)的解析式并判斷點(diǎn)B是否在這個反比例函數(shù)的圖象上;
(2)點(diǎn)P(x1,y1)也在這個反比例函數(shù)的圖象上,﹣3<x1<m且x1≠0,請直接寫出y1的范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在美化校園的活動中,某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長),用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABCD(籬笆只圍AB,BC兩邊),設(shè)AB=xm.若在P處有一棵樹與墻CD,AD的距離分別是15m和6m,要將這棵樹圍在花園內(nèi)(含邊界,不考慮樹的粗細(xì)),則花園面積S的最大值為_____m2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以D為頂點(diǎn)的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,直線BC的表達(dá)式為y=﹣x+3.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)在直線BC上有一點(diǎn)P,使PO+PA的值最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),頂點(diǎn)P(m,n).給出下列結(jié)論:①2a+c<0;②若(﹣,y1),(﹣,y2),(,y3)在拋物線上,則y1>y2>y3;③關(guān)于x的方程ax2+bx+k=0有實(shí)數(shù)解,則k>c﹣n;④當(dāng)n=﹣時(shí),△ABP為等腰直角三角形.其中正確結(jié)論是______(填寫序號).
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