Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（4，0）與y軸交于點(diǎn)C，tan∠ABC=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M在第一象限的拋物線上，ME平行y軸交直線BC于點(diǎn)E，連接AC、CE，當(dāng)ME取值最大值時(shí)，求△ACE的面積．

（3）在y軸負(fù)半軸上取點(diǎn)D（0，-1），連接BD，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使∠BAN=∠ACO-∠OBD？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+2；（2）S△ACE=；（3）存在，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（，-）．

【解析】

（1）根據(jù)tan∠ABC=求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再根據(jù)A，B，C的坐標(biāo)求出解析式即可；

（2）先求出直線BC的解析式，設(shè)出M，E的坐標(biāo)，求出ME的最大值，即可求出△ACE的面積；

（3）作C′（0，-2）與 C關(guān)于x軸對(duì)稱，連接BC′，過點(diǎn)D作DE⊥BC′于點(diǎn)E，證明△AOC∽△COB，得到∠BAN=∠ACO-∠OBD=∠DBC′，得出tan∠DBC′=tan∠BAN=，再設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)tan∠BAN=，求出n的值，即可求出N點(diǎn)坐標(biāo).

（1）∵B（4，0），

∴OB=4，

∵tan∠ABC===，

∴OC=2，

∴C（0，2），

設(shè)y=a（x-1）（x-4），

把C（0，2）代入，得a=-，

∴拋物線的解析式為y=-（x-1）（x-4）=-x2+x+2；

（2）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+2，

把B（4，0）代入，得k=-，

∴直線BC解析式為y=-x+2，

設(shè)M（m，-m2+m+2），

則E（m，-m+2），

∴ME=-m2+2m，

∴當(dāng)m=2時(shí)，ME取得最大值2，

∴E（2，1），

∴S△ACE=S△ABC-S△ABE=×5×（2-1）=；

（3）作C′（0，-2）與 C關(guān)于x軸對(duì)稱，連接BC′，過點(diǎn)D作DE⊥BC′于點(diǎn)E，

∴∠ABC=∠ABC′，

∵=，∠AOC=∠BOC=90°，

∴△AOC∽△COB，

∴∠ABC=∠ACO，

∴∠ABC′=∠ACO，

即∠BAN=∠ACO-∠OBD=∠DBC′，

由題意得DC′=1、DB=，BC′=2，

∵S△DBC′=，

∴DE=，

∴BE=，

∴tan∠DBC′=tan∠BAN=，

設(shè)N（n，-n2+n+2），且n＞0，

∴tan∠BAN===，

①當(dāng)2n+2=9×（-n2+n+2）時(shí)，n1=，n2=-1（舍去）；

②當(dāng)2n+2=-9×（-n2+n+2）時(shí)，n1=，n2=-1（舍去）；

∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）或（，-）．