【題目】如圖,直線y=x+a與x軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)B,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B.點(diǎn)M(m,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線分別交直線AB及拋物線于點(diǎn)P,N.
(1)填空:點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ,拋物線的解析式為 ;
(2)當(dāng)點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與點(diǎn)O,A重合),
①當(dāng)m為何值時(shí),線段PN最大值,并求出PN的最大值;②求出使△BPN為直角三角形時(shí)m的值;
(3)若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)N到直線AB的距離是h,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)由點(diǎn)O,B,N,P構(gòu)成的四邊形的面積.
【答案】(1)(0,﹣3),y=x2﹣x﹣3;(2)①是3,②3或;(3)6或6+6或6﹣6.
【解析】
(1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式y=x+a,求出a=-3,把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式,即可求值.
(2) ①點(diǎn)P(m,m﹣3),點(diǎn)N(m,m2﹣m﹣3,求出PN值的表達(dá)式,即可求解,
②分∠BNP=90°,∠NBP=90°,∠BPN=90°三種情況,分別求解.
(3)若拋物線上只有三個(gè)點(diǎn)N到直線AD的距離是h,則只能出現(xiàn):在AB直線下方拋物線與過(guò)點(diǎn)N的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)N,在直線AB上方的交點(diǎn)有兩個(gè),分別求解即可.
解:(1)把點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線表達(dá)式y=x+a,
解得:a=﹣3,則:直線表達(dá)式為:y═x﹣3,令x=0,則:y=﹣3,
則點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,﹣3),
將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:c=﹣3,
把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:×16+4b﹣3=0,
解得:b=﹣,
故拋物線的解析式為:y=x2﹣x﹣3,
(2)①∵M(m,0)在線段OA上,且MN⊥x軸,
∴點(diǎn)P(m,m﹣3),N(m,m2﹣m﹣3),
∴PN=m﹣3﹣(m2﹣m﹣3)=﹣(m﹣2)2+3,
∵a=﹣<0,
∴拋物線開(kāi)口向下,
∴當(dāng)m=2時(shí),PN有最大值是3,
②當(dāng)∠BNP=90°時(shí),點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為﹣3,
把y=﹣3代入拋物線的表達(dá)式得:﹣3=m2﹣m﹣3,解得:m=3或0(舍去m=0),
∴m=3;
當(dāng)∠NBP=90°時(shí),∵BN⊥AB,兩直線垂直,其k值相乘為﹣1,
設(shè):直線BN的表達(dá)式為:y=﹣x+n,
把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式,解得:n=﹣3,則:直線BN的表達(dá)式為:y=﹣x﹣3,
將上式與拋物線的表達(dá)式聯(lián)立并解得:m=或0(舍去m=0),
當(dāng)∠BPN=90°時(shí),不合題意舍去,
故:使△BPN為直角三角形時(shí)m的值為3或;
(3)∵OA=4,OB=3,
在Rt△AOB中,tanα=,則:cosα=,sinα=,
∵PM∥y軸,
∴∠BPN=∠ABO=α,
若拋物線上有且只有三個(gè)點(diǎn)N到直線AB的距離是h,
則只能出現(xiàn):在AB直線下方拋物線與過(guò)點(diǎn)N的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)N,在直線AB上方的交點(diǎn)有兩個(gè).
當(dāng)過(guò)點(diǎn)N的直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)N,
點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,0),設(shè):點(diǎn)N坐標(biāo)為:(m,n),
則:n=m2﹣m﹣3,過(guò)點(diǎn)N作AB的平行線,
則點(diǎn)N所在的直線表達(dá)式為:y=x+b,將點(diǎn)N坐標(biāo)代入,
解得:過(guò)N點(diǎn)直線表達(dá)式為:y=x+(n﹣m),
將拋物線的表達(dá)式與上式聯(lián)立并整理得:3x2﹣12x﹣12+3m﹣4n=0,
△=144﹣3×4×(﹣12+3m﹣4n)=0,
將n=m2﹣m﹣3代入上式并整理得:m2﹣4m+4=0,
解得:m=2,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,﹣),
則:點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,﹣),
則:PN=3,
∵OB=3,PN∥OB,
∴四邊形OBNP為平行四邊形,則點(diǎn)O到直線AB的距離等于點(diǎn)N到直線AB的距離,
即:過(guò)點(diǎn)O與AB平行的直線與拋物線的交點(diǎn)為另外兩個(gè)N點(diǎn),即:N′、N″,
直線ON的表達(dá)式為:y=x,將該表達(dá)式與二次函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立并整理得:
x2﹣4x﹣4=0,解得:x=2±2,
則點(diǎn)N′、N″的橫坐標(biāo)分別為2+2,2﹣2,
作NH⊥AB交直線AB于點(diǎn)H,
則h=NH=NPsinα=,
作N′P′⊥x軸,交x軸于點(diǎn)P′,則:∠ON′P′=α,ON′==(2+2),
S四邊形OBPN=BPh==6,
則:S四邊形OBP′N′=S△OP′N′+S△OBP′=6+,
同理:S四邊形OBN″P″=﹣6,
故:點(diǎn)O,B,N,P構(gòu)成的四邊形的面積為:6或6+6或6﹣6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,AB為的直徑,弦垂足為E,點(diǎn)H為弧AC上一點(diǎn).連接DH交AB于點(diǎn)F,連接HA、BD,點(diǎn)G為DH上一點(diǎn),連接AG,.
(1)如圖1,求證:;
(2)如圖2,連接HC,若,求證:;
(3)如圖3,連接交于點(diǎn)K,若點(diǎn)F為DG的中點(diǎn),,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知y是x(x>0)的函數(shù),表1中給出了幾組x與y的對(duì)應(yīng)值:
表1:
x | … | 1 | 2 | 3 | … | |||
y | … | 6 | 3 | 2 | 1 | … |
⑴以表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo),在圖1的直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn),用光滑曲線順次連接.由圖像知,它是我們已經(jīng)學(xué)過(guò)的哪類函數(shù)?求出函數(shù)解析式,并直接寫(xiě)出的值;
⑵如果一次函數(shù)圖像與⑴中圖像交于(1,3)和(3,1)兩點(diǎn),在第一、四象限內(nèi)當(dāng)x在什么范圍時(shí),一次函數(shù)的值小于⑴中函數(shù)的值?請(qǐng)直接寫(xiě)出答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,小明想測(cè)量電線桿AB的高度,但在太陽(yáng)光下,電線桿的影子恰好落在地面和土地的坡面上,量得坡面上的影長(zhǎng)CD=4m,地面上的影長(zhǎng)BC=10m,土坡坡面與地面成30°的角,此時(shí)測(cè)得1m長(zhǎng)的木桿的影長(zhǎng)為2m,求電線桿的高度.(結(jié)果精確到0.1m)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解初一年級(jí)學(xué)生每學(xué)期參加綜合實(shí)踐活動(dòng)的情況,某區(qū)教育行政部門(mén)隨機(jī)抽樣調(diào)查了部分初一學(xué)生一個(gè)學(xué)期參加綜合實(shí)踐活動(dòng)的天數(shù),并用得到的數(shù)據(jù)繪制了統(tǒng)計(jì)圖①和圖②,請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問(wèn)題:
(I)本次隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 ,圖①中的m的值為 ;
(II)求本次抽樣調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù);
(III)若該區(qū)初一年級(jí)共有學(xué)生2500人,請(qǐng)估計(jì)該區(qū)初一年級(jí)這個(gè)學(xué)期參加綜合實(shí)踐活動(dòng)的天數(shù)大于4天的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】由于2020年新型冠狀病毒的襲擊,不得不推遲開(kāi)學(xué),但停課不停學(xué),各地都開(kāi)展了網(wǎng)課.某中學(xué)為了解學(xué)生上網(wǎng)課情況,開(kāi)學(xué)后從全校七年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了數(shù)學(xué)科目的測(cè)試(把測(cè)試結(jié)果分為四個(gè)等級(jí):A級(jí):優(yōu)秀;B級(jí):良好;C級(jí):合格;D級(jí):不合格),并將測(cè)試記錄繪成如下兩幅完全不同的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問(wèn)題:
(1)本次抽樣測(cè)試的學(xué)生數(shù)是多少?
(2)求圖1中A級(jí)扇形的圓心角∠α的度數(shù),并把圖2中的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完成;
(3)該中學(xué)七年級(jí)共有1200名學(xué)生,如果全部參加這次數(shù)學(xué)科目測(cè)試,請(qǐng)估計(jì)不合格的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),按A→B→C的方向在AB和BC上移動(dòng),記PA=x,點(diǎn)D到直線PA的距離為y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是( )
A.B.
C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為AB中點(diǎn),AE∥CD,CE∥AB.
(1)試判斷四邊形ADCE的形狀,并證明你的結(jié)論.
(2)連接BE,若∠BAC=30°,CE=1,求BE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某文具店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的文具袋進(jìn)行銷售,若購(gòu)進(jìn)A品牌文具袋和B品牌文具袋各5個(gè)共花費(fèi)120元,購(gòu)進(jìn)A品牌文具袋3個(gè)和B品牌文具袋4個(gè)共花費(fèi)88元.
(1)求購(gòu)進(jìn)A品牌文具袋和B品牌文具袋的單價(jià);
(2)若該文具店購(gòu)進(jìn)了A,B兩種品牌的文具袋共100個(gè),其中A品牌文具袋售價(jià)為12元,B品牌文具袋售價(jià)為23元,設(shè)購(gòu)進(jìn)A品牌文具袋x個(gè),獲得總利潤(rùn)為w元.
①求w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
②要使銷售文具袋的利潤(rùn)最大,且所獲利潤(rùn)不低于進(jìn)貨價(jià)格的45%,請(qǐng)你幫該文具店設(shè)計(jì)一個(gè)進(jìn)貨方案,并求出其所獲利潤(rùn)的最大值.
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