Question

【題目】問題探究．

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0，8)，C(6，0)，以O，A，C為頂點(diǎn)作矩形OABC，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AO以4個(gè)單位每秒的速度向O運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OC以3個(gè)單位每秒的速度向C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P，Q中的任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．連接PQ．

（情景導(dǎo)入）當(dāng)t＝1時(shí)，求出直線PQ的解析式．

（深入探究）①連接AC，若△POQ與△AOC相似，求出t的值．

②如圖，取PQ的中點(diǎn)M，以QM為半徑向右側(cè)作半圓M，直接寫出半圓M的面積的最小值，并直接寫出此時(shí)t的值．

（拓展延伸）如圖，過點(diǎn)A作半圓M的切線，交直線BC于點(diǎn)H，于半圓M切于點(diǎn)N．

①在P，Q的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)路徑為　 　．

②若固定點(diǎn)H(6，2)不動(dòng)，則在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，半圓M能否與梯形AOCH相切？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)證明．

Answer 1

【答案】【情景導(dǎo)入】y＝﹣x＋4；【深入探究】①1或；②；【拓展延伸】①；②能，t＝0或t＝2或t＝．

【解析】

【情景導(dǎo)入】

當(dāng)t＝1時(shí)，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為：(0，4)、(3，0)，將點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式即可求解；

【深入】

①如下圖，tan∠ACO＝，△POQ與△AOC相似，則tan∠PQO＝＝或，即可求解；

②S＝π×（PM）2＝×[（）2＋（4﹣2t）2]＝（﹣16t＋16），即可求解；

【拓展】

①當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合；當(dāng)t＝2時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束，設(shè)直線AH與半圓切于點(diǎn)N，則HQ＝NH，則AN＝AO＝8，設(shè)HQ＝NH＝a，則BH＝8﹣a，AH＝8＋a，在△ABH中，由勾股定理得：AH2＝AB2＋BH2，即（8＋a）2＝62＋（8﹣a）2，即可求解；

②（Ⅰ）當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)P、Q分別與點(diǎn)A、O重合，則半圓M于CO相切；

（Ⅱ）當(dāng)t＝2時(shí)，由①知，半圓M與BC相切；

（Ⅲ）當(dāng)半圓M與直線AH相切時(shí)，則PM＝MN，即（）2＋（4﹣2t）2＝（x﹣）2＋（x﹣2t﹣4）2，即可求解．

解：【情景導(dǎo)入】當(dāng)t＝1時(shí)，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為：(0，4)、(3，0)，

將點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝kx＋b得：，解得：，

故直線PQ的表達(dá)式為：y＝﹣x＋4；

【深入探究】

點(diǎn)P、Q、M的坐標(biāo)分別為：(0，8﹣4t)、(3t，0)、(，4﹣2t)，

①如下圖，tan∠ACO＝，

△POQ與△AOC相似，

則tan∠PQO＝＝或，

解得：t＝1或；

②S＝π×（PM）2＝×[（）2＋（4﹣2t）2]＝（﹣16t＋16），

∵＞0，

故S有最小值為，此時(shí)t＝；

【拓展延伸】

①當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)H與點(diǎn)B重合；

當(dāng)t＝2時(shí)，運(yùn)動(dòng)結(jié)束，點(diǎn)H的位置如下圖所示，

設(shè)直線AH與半圓切于點(diǎn)N，則HQ＝NH，則AN＝AO＝8，

設(shè)HQ＝NH＝a，則BH＝8﹣a，AH＝8＋a，

在△ABH中，由勾股定理得：AH2＝AB2＋BH2，

即（8＋a）2＝62＋（8﹣a）2，解得：a＝＝HQ，

則點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑為BH＝8﹣＝，

故答案為：；

②（Ⅰ）當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)P、Q分別與點(diǎn)A、O重合，則半圓M于CO相切；

（Ⅱ）當(dāng)t＝2時(shí)，由①知，半圓M與BC相切；

（Ⅲ）當(dāng)半圓M與直線AH相切時(shí)，如下圖，設(shè)切點(diǎn)為N，

由點(diǎn)A、H的坐標(biāo)得，直線AH的表達(dá)式為：y＝﹣x＋8，

設(shè)點(diǎn)N(x，8﹣x)，而點(diǎn)P、Q、M的坐標(biāo)分別為：(0，8﹣4t)、(3t，0)、(，4﹣2t)，

則PM＝MN，即（）2＋（4﹣2t）2＝（x﹣）2＋（x﹣2t﹣4）2，

整理得：2x2﹣（7t＋8）x＋32t＝0，

由題意得：△＝（7t＋8）2﹣8×32t＝0，

即49t2﹣144t＋64＝0，

解得：t＝（不合題意的值已舍去）；

綜上，t＝0或t＝2或t＝．