【題目】在矩形ABCD中,點(diǎn)PAD上,AB=2,AP=1.直角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P處,直角尺的兩邊分別交AB、BC于點(diǎn)EF,連接EF(如圖1).

(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合(如圖2).

①求證:△APB∽△DCP;

②求PC、BC的長.

(2)探究:將直角尺從圖2中的位置開始,繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止.在這個(gè)過程中(1是該過程的某個(gè)時(shí)刻),觀察、猜想并解答:

tanPEF的值是否發(fā)生變化?請說明理由.

設(shè)AE=x,當(dāng)△PBF是等腰三角形時(shí),請直接寫出x的值.

【答案】(1)①證明見解析;②PC=2,BC=5;(2)tanPEF的值不變;②x=x=x=.

【解析】

1)①由勾股定理求BP,利用互余關(guān)系證明APB∽△DCP;②利用相似比求PC,DP, 再根據(jù)BC=AD=AP+DP即可求得BC的長;

2)①tanPEF的值不變.理由為:過FFGAD,垂足為點(diǎn)G. 則四邊形ABFG是矩形,同(1)的方法證明APE∽△GFP,得相似比,再利用銳角三角函數(shù)的定義求值;②利用相似比求GP,再矩形性質(zhì)求出BF,PBF是等腰三角形,分三種情況討論:(Ⅰ) 當(dāng)PB=PF時(shí),根據(jù)BF=2AP求值;當(dāng)BF=BP時(shí),(Ⅱ)根據(jù)BP=求值;(Ⅲ) 當(dāng)BF=PF時(shí),根據(jù)PF=即可求出x.

解:(1)①如圖3.2

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠A=D=90°,CD=AB=2,

∴在RtABC中,

1+2=90°,BP=.

又∵∠BPC=90°,

∴∠3+2=90°

∴∠1=3.

∴△APB∽△DCP.

②由APB∽△DCP.

,即.

PC=2DP=4.

BC=AD=AP+DP=5.

(2)tanPEF的值不變.

理由如下:

如圖3.1,過FFGAD,垂足為點(diǎn)G. 則四邊形ABFG是矩形.

∴∠A=PGF=90°,FG=AB=2,

∴在RtAPE中,∠1+2=90°

又∵∠EPF=90°,∴∠3+2=90°,

∴∠1=3.

∴△APE∽△GFP,

.

∴在RtEPF中,tanPEF=2.

tanPEF的值不變.

②由APE∽△GFP.

.

GP=2AE=2x,

∵四邊形ABFG是矩形.

BF=AG=AP+GP=2x+1.

PBF是等腰三角形,分三種情況討論:

(Ⅰ)當(dāng)PB=PF時(shí),點(diǎn)PBF的垂直平分線上.

BF=2AP. 2x+1=2,

x=.

(Ⅱ)當(dāng)BF=BP時(shí),

BP=BP=

2x+1=.

x=.

(Ⅲ)當(dāng)BF=PF時(shí),

PF=,

(2x)2+22=(2x+1)2

x=.

練習(xí)冊系列答案
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(1)畫出A1B1C1;

(2)畫出A2B2C2;

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1)分別求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式:

2)研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于3毫克時(shí)對人體沒有危害,那么此次消毒后經(jīng)過多長時(shí)間學(xué)生才可以安全進(jìn)入教室?

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)根據(jù)題意填表;

BCm

1

3

5

7

矩形ABCD面積(m2

   

   

   

   

)能夠圍成面積為100m2的矩形花園嗎?如能說明圍法,如不能,說明理由.

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