Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，AB=4，點(diǎn)P是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M，N，則線段MN長的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】6≤MN≤4
【解析】解：（解法一）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，MN最短． 此時(shí)E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴PE= AC，PF= AB，EF= BC，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)P和點(diǎn)B（或點(diǎn)C）重合時(shí)，此時(shí)BN（或CM）最長．
此時(shí)G（H）為AB（AC）的中點(diǎn)，
∴CG=2 （BH=2 ），
CM=4 （BN=4 ）．
故線段MN長的取值范圍是6≤MN≤4 ．
故答案為：6≤MN≤4 ．

（解法二）連接PM交AB于點(diǎn)E，連接PN交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MD⊥PN于點(diǎn)D，如圖3所示．
設(shè)BP=x（0≤x≤4），則PE= x，CP=4﹣x，PF= （4﹣x），
∴PM= x，PN= （4﹣x）．
∵∠B=∠C=60°，
∴∠BPE=∠CPF=30°，
∴∠MPD=∠BPE+∠BPD=∠BPE+∠CPF=60°，
∴DP= PM= x，MD= PM= x．
在Rt△MDN中，MD= x，ND=PN+PD= （4﹣x）+ x= （8﹣x），
∴MN2=MD2+ND2=3（x﹣2）2+36，
∴當(dāng)x=2時(shí)，MN取最小值6；當(dāng)x=0或x=4時(shí)，MN取最大值4 ．
故答案為：6≤MN≤4 ．
（解法三）連接AM、AN、AP，過點(diǎn)A作AD⊥MN于點(diǎn)D，如圖所示．
∵點(diǎn)P關(guān)于直線AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)分別為M，N，
∴AM=AP=AN，∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC，
∴△MAN為頂角為120°的等腰三角形，
∴∠AMD=30°，
∴AD= AM，MD= AM，MN= AM．
∵AM=AP，2 ≤AP≤4，
∴6≤MN≤4 ．
故答案為：6≤MN≤4 ．


（方法一）當(dāng)點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)時(shí)，MN最短，求出此時(shí)MN的長度，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B（或C）重合時(shí)，BN（或CM）最長，求出此時(shí)BN（或CM）的長度，由此即可得出MN的取值范圍．
（方法二）連接PM交AB于點(diǎn)E，連接PN交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MD⊥PN于點(diǎn)D，設(shè)BP=x（0≤x≤4），則PE= x，CP=4﹣x，PF= （4﹣x），根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得出PM、PN的長度，由角的計(jì)算可得出∠MPD=60°，進(jìn)而可得出MD、PD的長度，在Rt△MDN中，利用勾股定理即可得出MN2=MD2+ND2=3（x﹣2）2+36，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．
（方法三）連接AM、AN、AP，過點(diǎn)A作AD⊥MN于點(diǎn)D，由對(duì)稱性可知AM=AP=AN、△MAN為頂角為120°的等腰三角形，進(jìn)而即可得出MN= AP，再根據(jù)AP的取值范圍即可得出線段MN長的取值范圍．