【題目】已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B、C重合).以AD為邊作正方形ADEF,連接CF.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí),求證:BD⊥CF.BD=CF.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí),其它條件不變,第(1)問結(jié)論還成立嗎?并說明理由.

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長線上時(shí),且點(diǎn)A、F分別在直線BC的兩側(cè),其它條件不變:

①請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關(guān)系.
②若連接正方形對角線AE、DF,交點(diǎn)為O,連接OC,探究△AOC的形狀,并說明理由.

【答案】
(1)

證明:∵∠BAC=90°,AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB=45°,

∵四邊形ADEF是正方形,

∴AD=AF,∠DAF=90°,

∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°,

∴∠BAD=∠CAF,

在△BAD和△CAF中,

∴△BAD≌△CAF(SAS),

∴BD=CF,∠ACF=∠ABD=45°,

∴∠ACF+∠ACB=90°,

∴BD⊥CF;


(2)

(1)的結(jié)論仍然成立,理由:

∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD,

∠CAF=∠DAF+∠CAD=90°+∠CAD,

∴∠BAD=∠CAD,

在△BAD和△CAF中,

∴△BAD≌△CAF(SAS),

∴BD=CF,∠ACF=∠ABD=45°

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°

∴BD⊥CF.


(3)

①BC、CD與CF的關(guān)系:CD=BC+CF

理由:與(1)同法可證△BAD≌△CAF,從而可得:

BD=CF,

即:CD=BC+CF

②△AOC是等腰三角形

理由:與(1)同法可證△BAD≌△CAF,可得:∠DBA=∠FCA,

又∵∠BAC=90°,AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB=45°,

則∠ABD=180°﹣45°=135°,

∴∠ABD=∠FCA=135°

∴∠DCF=135°﹣45°=90°

∴△FCD為直角三角形.

又∵四邊形ADEF是正方形,對角線AE與DF相交于點(diǎn)O,

∴OC= DF,

∴OC=OA

∴△AOC是等腰三角形


【解析】(1)設(shè)法證明△BAD≌△CAF與∠FCD=90°即可;(2)與(1)同法;(3)中的①與(1)相同,可證明BD=CF,又點(diǎn)D、B、C共線,故:CD=BC+CF;②由(1)猜想并證明BD⊥CF,從而可知△FCD為直角三角形,再由正方形的對角線的性質(zhì)判定△AOC三邊的特點(diǎn),再進(jìn)一步判定其形狀.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡稱:等邊對等角)才能正確解答此題.

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