【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+與x軸交于點A(﹣5,0),B(1,0),頂點為D,與y軸交于點C.
(1)求拋物線的表達式及D點坐標;
(2)在直線AC上方的拋物線上是否存在點E,使得∠ECA=2∠CAB,如果存在這樣的點E,求出△ACE面積,如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+,頂點D(﹣2,)(2)S△AEC=.
【解析】
(1)用待定系數(shù)法可求拋物線的表達式,即可求頂點D坐標;
(2)過點C作CM∥AB,過點E作EF⊥CM,設(shè)點E(m,-m2-2m+),通過證明△CEF∽△ACB,可得 ,即可求m的值,代入可求點E坐標,由面積和差關(guān)系可求△ACE面積.
解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+與x軸交于點A(﹣5,0),B(1,0),
∴ ,
∴
∴拋物線的表達式為:,
∴頂點D(﹣2,)
(2)如圖,過點C作CM∥AB,過點E作EF⊥CM,
設(shè)點E(m,﹣m2﹣2m+)
∵y=﹣x2﹣2x+交y軸交于點C,
∴點C(0,),
∴OC=,
∵CM∥AB,
∴∠MCA=∠CAB,
∵∠ECA=2∠CAB=∠ECF+∠MCA,
∴∠ECF=∠CAB,且∠AOC=∠EFC=90°,
∴△CEF∽△ACO,
∴,
∴
∴m=0(不合題意),m=﹣3,
∴點E(﹣3,4),
∴S△AEC=×(+4)×3+×4×2﹣×5×=.
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【題目】如圖,在大樓AB正前方有一斜坡CD,坡角∠DCE=30°,樓高AB=60米,在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的D處測得樓頂B的仰角為45°,其中點A,C,E在同一直線上.
(1)求坡底C點到大樓距離AC的值;
(2)求斜坡CD的長度.
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【題目】⊙O的半徑為5cm,弦AB//CD,且AB=8cm,CD=6cm,則AB與CD之間的距離為( )
A. 1 cm B. 7cm C. 3 cm或4 cm D. 1cm 或7cm
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【題目】求證:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,并且等于第三邊的一半.解答要求如下:
(1)對于圖中△ABC,用尺規(guī)作出一條中位線DE;(不必寫作法,但應(yīng)保留作圖痕跡)
(2)根據(jù)(1)中作出的中位線,寫出已知,求證和證明過程.
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【題目】為了解今年我校初三學(xué)生中考體育測試成績,現(xiàn)對今年我校初三中考體育測試成績進行抽樣調(diào)查,結(jié)果統(tǒng)計如下,其中扇形統(tǒng)計圖中C組所在的扇形的圓心角為36°,組別成績(分)頻數(shù).
組別 | 成績(分) | 頻數(shù) |
A | 30<x≤34 | 1 |
B | 34<x≤38 | 1 |
C | 38<x≤42 | 6 |
D | 42<x≤46 | b |
E | 46<x≤50 | 30 |
合計 | a |
根據(jù)上面圖標提供的信息,回答下列問題:
(1)計算頻數(shù)分布表中a與b的值;
(2)根據(jù)C組38<x≤42的組中間值40,估計C組中所有數(shù)據(jù)的和為 ;
(3)請估計今年我校初三學(xué)生中考體育成績的平均分(結(jié)果取整數(shù)).
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【題目】如圖:兩座建筑物AB、CD相距60米,從點A測得D點的俯角為30°,從A點下降10米到E點,在E點測得C點的俯角為43°求兩座建筑物的高度.(精確到0.1)(參考數(shù)據(jù):≈1.73,cos43°≈0.73,sin43°≈0.68,tan43°≈0.93)
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【題目】(1)解方程:x2﹣5=4x.
(2)如圖,四邊形ABCD中,∠C=60°,∠BED=110°,BD=BC,點E在AD上,將BE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得BF,且點F在DC上,求∠EBD的度數(shù).
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【題目】某學(xué)校開展以素質(zhì)提升為主題的研學(xué)活動,推出了以下四個項目供學(xué)生選擇:A.模擬駕駛;B.軍事競技;C.家鄉(xiāng)導(dǎo)游;D.植物識別.學(xué)校規(guī)定:每個學(xué)生都必須報名且只能選擇其中一個項目.八年級(3)班班主任劉老師對全班學(xué)生選擇的項目情況進行了統(tǒng)計,并繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請結(jié)合統(tǒng)計圖中的信息,解決下列問題:
(1)八年級(3)班學(xué)生總?cè)藬?shù)是 ,并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)劉老師發(fā)現(xiàn)報名參加“植物識別”的學(xué)生中恰好有兩名男生,現(xiàn)準備從這些學(xué)生中任意挑選兩名擔(dān)任活動記錄員,請用列表或畫樹狀圖的方法,求恰好選中1名男生和1名女生擔(dān)任活動記錄員的概率.
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【題目】某文具店經(jīng)營某種品牌的文具盒,購進時的單價是30元,根據(jù)統(tǒng)計調(diào)查:在一段時間內(nèi),銷售單價是40元時,文具盒銷售量是600個,而銷售單價每漲2元,就會少售出20個文具盒.
(1)不妨設(shè)該種品牌文具盒的銷售單價為元(),請你分別用的代數(shù)式來表示銷售量個和銷售該品牌文具盒獲得利潤元,并把結(jié)果填寫在表格中:
銷售單價(元) | |
銷售量(個) | __________________ |
銷售文具盒獲得利潤(元) | ____________________ |
(2)在(1)問條件下,若該文具店獲得了6000元銷售利潤,求該文具盒銷售單價應(yīng)定為多少元?
(3)在(1)問條件下,若廠家規(guī)定該品牌文具盒銷售單價不低于44元,且文具店要完成不少于380個的銷售目標,求該文具店銷售該品牌文具盒獲得的最大利潤是多少元?
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